Astronomi

Hvorfor drejningsmomentet, som månen udøver på Jorden, får Månen til at øge sin bane?

Hvorfor drejningsmomentet, som månen udøver på Jorden, får Månen til at øge sin bane?


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

For hvad jeg ved, eksisterer dette drejningsmoment på grund af forkert justering af tidevandsbølgen med apsidalinjen Jorden-Månen en vis vinkel $ alpha $, hvilket får jorden til at bremse lidt. Men hvordan trækker månen væk? Jeg troede, at dette "tab" af rotationsmoment overføres til tidevandsopvarmning. Jeg kan ikke se, hvordan denne energi overføres til mere orbitalt momentum, fordi jeg troede, at bevarelsen af ​​vinkelmoment ikke havde at gøre med objekternes rotation. Jeg mener, er det ikke sandt $ c $ forbliver konstant i to-kropsproblemet (væren $ c = vec {r} times dot { vec {r}} $)? Hvordan rotationen spiller ind i det?


fordi jeg troede, at bevarelsen af ​​vinkelmoment ikke havde at gøre med objekternes rotation.

Systemets vinkelmoment bevares. Da rotation kan bidrage til vinkelmoment, påvirker det ligningen. Du kan ignorere det for punktlignende objekter. I tilfælde af jord-månesystemet er jordens rotation en betydelig del af det samlede momentum.

En ikke alt for forkert version ville være at antage en akse centreret på jorden. Derefter kunne systemets samlede vinkelmoment findes ved at opsummere det individuelle momenta for:

  • jordens rotation
  • månens rotation
  • månens bane

Forudsat at månen er tidligt låst til jorden og har en næsten cirkulær bane, giver dette dig kun to variabler. Du kan derefter beregne, at hvis du bremser jordens rotation, er den eneste måde at holde systemets vinkelmoment konstant på at øge månens vinkelmoment med en lige stor mængde. Dette svarer til en større bane.

Hvis du beregner KE ud fra begge konfigurationer, finder du, at den anden har mindre energi. Så der skal være et energitab ved overgangen mellem dem.


Hvad er den centripetale kraft, når månen kredser om Jorden?

Ethvert to objekter vil tiltrække hinanden tyngdekraften med en kraft givet af Newtons ligning:

# G # er den universelle tyngdekonstant, normalt benævnt "stor G".

# m_1 # og # m_2 # er masserne af objekterne.

# r # er afstanden mellem massecentrene for de to objekter.

Bemærk, at tyngdekraften falder i omvendt forhold til kvadratet for afstanden mellem objekterne.

Hvis der ikke var nogen tyngdekraft, ville månen have tendens til at rejse i en lige linje. Med tyngdekraften, der tilvejebringer en centripetal kraft, er denne sti buet mod Jorden, hvilket resulterer i en omtrent cirkulær bane. I det væsentlige er månen i kontinuerligt frit fald mod Jorden.

Faktisk kredser månen og jorden omkring et centrum, der ligger mellem Jordens centrum og Månens. Men da Jorden er meget mere massiv end månen, ligger dette centrum inden for Jorden (i en afstand af # 4670 # km eller deromkring fra midten af ​​Jorden).

Der er ingen centripetal kraft mellem jorden og månen i henhold til generel relativitet.

Forklaring:

Newtons tyngdekraft og bevægelse er en god tilnærmelse, så længe kroppens masser ikke er for store, og de kører med hastigheder, der er betydeligt langsommere end lysets hastighed.

Newton beskriver tyngdekraften som en kraft, når tyngdekraften faktisk ikke er en kraft. Faktisk er det unøjagtigt at bruge udtrykket tyngdekraften.

Alt med masse forårsager krumning i 4-dimensionel rumtid. Den tredimensionelle analogi er at placere en kugle på et strakt gummiplade.

En krop, der bevæger sig i fravær af en ekstern kraft, bevæger sig i en lige linje. I 4-dimensionel rumtid kaldes dette en geodesik, som er den kortest mulige linje mellem to punkter på en buet overflade.

Så tyngdekraften er ikke en kraft. Det er rumtidens krumning. En geodetik i buet rumtid er ikke en lige linje, det er en kurve.

Så der er ingen kraft, der virker mellem Jorden og Månen. Formen på Månens bane er formen på Månens geodesik, der rejser gennem den buede rumtid forårsaget af jordens masse.


Hall of Fame

Interaktion mellem gravitationel masse og fotoner

Einstein udvidede sin specielle relativitetsteori til fænomener, der involverer acceleration i sin generelle relativitetsteori, som han skrev i 1915 (Einstein, 1916b). Han foreslog, at som masse svarede til energi, som beskrevet ovenfor, ville det samme ækvivalensprincip kræve, at tyngdekraftsmassen ville interagere med massen af ​​fotoner af synligt lys (elektromagnetisk stråling). Ud fra denne ræsonnement forudsagde Einstein afbøjning af lyset fra stjerner, da lyset ville passere nær en massiv krop som solen (Einstein, 1911). Solens tyngdekraft trækker og bøjer lyset fra en fjern stjerne, når det lys passerer nær solens krop. Einstein konkluderede, at denne afbøjning af lys mod solens krop kunne observeres fra jorden, når solens lys ville blive blokeret af en total formørkelse. I 1913, inden den samlede formørkelse i maj 1919, skitserede Einstein en skitse, der illustrerede, hvordan solens tyngdekraft ville afbøde lys i nærheden af ​​solen, så stjernerne skulle se ud for observatører på jorden, at de har skiftet deres position i rummet. Einstein & # x27s forudsigelse blev fundet at være sandt, da britiske astronomer i maj 1919 tog fotografier af solens totale formørkelse. Den britiske astronom Arthur Eddington demonstrerede Einsteins forudsigelse om at være sand. Han så en stjerne, der skulle have været skjult bag solen. Fotografier af den totale formørkelse illustrerede, hvordan nogle stjernes positioner afveg fra deres positioner, da stjernerne blev fotograferet ved andre lejligheder med solen et andet sted på himlen. Dette fund gjorde Einstein til en øjeblikkelig berømthed. London Times den 7. november 1919 kørte overskriften "Revolution in Science, New Theory of the Universe, Newtonian Ideas væltet." Demonstrationen af ​​Einstein & # x27s teori mindes i frimærket udstedt af Serbien i 2004. Frimærket illustrerer, hvordan bøjningen af ​​lyset nær solen gav det udseende, at den fjerne stjerne var placeret til siden snarere end direkte bag solen. Eddington kommenterede, at det var det største øjeblik i hans liv, da han målte billedet af en stjerne og fandt ud af, at solens tyngdekraft vred det rum, gennem hvilket lyset havde rejst. Effekten blev bekræftet på fotografier taget under solformørkelsen i 1922. Som bemærket af American Institute of Physics:

Formørkelseseksperimenterne, ligesom de vigtigste nye videnskaber, blev udført på det yderste af de tilgængelige teknikker. Det var først i 1960'erne med meget forbedrede metoder, at tyngdekraftens bøjning af lys kunne demonstreres uden rimelig tvivl. Indtil da kunne man næsten sige, at logikken og skønheden i Einstein & # x27s teori gjorde lige så meget for at bekræfte observationer som observationer gjorde for at bekræfte hans teori.

Eddingtons fund under solformørkelsen i 1919, der bekræfter Einstein & # x27s forudsigelser, blev fejret med frimærket udgivet i 2009 af São Tomé og Príncipe illustreret her.

Ud over den afbøjning af lyset fra solens tyngdekraft, der er beskrevet ovenfor, fremsatte Einstein flere forudsigelser fra generel relativitetsteori, herunder den periheliske bane på planeten Merkur (Einstein, 1915). I sin Nobel-forelæsning, der blev præsenteret den 11. juli 1923 (se forklaring nedenfor for forelæsningens forsinkelse og emne), understregede Einstein nogle af forudsigelserne i hans teori, da han sagde:

De nævnte overvejelser førte til tyngdekraftsteorien, som giver den newtonske teori som en første tilnærmelse, og ydermere giver den bevægelsen af ​​kviksølvs perihelium, afbøjning af lys fra solen og det røde skift af spektrale linjer univers]…

Einstein (1923).

Problemer

Andrea, en 63,0 kg sprinter, starter et løb med en acceleration på 4.200 m / s 2 4.200 m / s 2. Hvad er den eksterne eksterne kraft på hende?

Hvis sprinteren fra det forrige problem accelererer med den hastighed i 20,00 m og derefter fastholder denne hastighed i resten af ​​en 100,00-m dash, hvad bliver hendes tid til løbet?

En rengøringsperson skubber en vasketøjsvogn på 4,50 kg på en sådan måde, at den eksterne ydre kraft på den er 60,0 N. Beregn størrelsen på hans vognens acceleration.

Astronauter i kredsløb er tilsyneladende vægtløse. Dette betyder, at der er brug for en smart metode til måling af massen af ​​astronauter for at overvåge deres massegevinst eller -tab og justere deres diæt. En måde at gøre dette på er at udøve en kendt kraft på en astronaut og måle den producerede acceleration. Antag, at der udøves en ekstern nettokraft på 50,0 N, og en astronauts acceleration måles til 0,893 m / s 2 0,893 m / s 2. (a) Beregn hendes masse. (b) Ved at udøve en styrke på astronauten oplever køretøjet, hvor hun kredser, en lige og modsat kraft. Brug denne viden til at finde en ligning til accelerationen af ​​systemet (astronaut og rumskib), der ville blive målt af en nærliggende observatør. (c) Diskuter, hvordan dette vil påvirke måling af astronautens acceleration. Foreslå en metode, hvormed køretøjets tilbagespænding undgås.

I figur 5.12 er den eksterne nettokraft på 24 kg slåmaskinen angivet som 51 N. Hvis friktionskraften, der modsætter bevægelsen, er 24 N, hvilken kraft F (i newton) er den person, der udøver på plæneklipperen? Antag, at plæneklipperen bevæger sig med 1,5 m / s, når kraften F fjernes. Hvor langt går plæneklipperen, før den stopper?

Hvis raketslæden vist i det foregående problem kun starter med en raket, der brænder, hvad er størrelsen af ​​denne acceleration? Antag, at systemets masse er 2,10 × 10 3 2,10 × 10 3 kg, kraften T er 2,40 × 10 4 N, 2,40 × 10 4 N, og friktionskraften, der modsætter bevægelsen, er 650,0 N. (b) Hvorfor er accelerationen ikke en fjerdedel af, hvad den er med alle raketter, der brænder?

Hvad er accelerationen modsat raketslædens bevægelse, hvis den hviler i 1,10 sek fra en hastighed på 1000,0 km / t? (En sådan acceleration modsat bevægelsen forårsagede, at en testperson blev slukket og havde midlertidig blindhed.)

Antag, at to børn skubber vandret, men i nøjagtig modsat retning, på et tredje barn i en vogn. Det første barn udøver en kraft på 75,0 N, det andet udøver en kraft på 90,0 N, friktionen er 12,0 N, og massen af ​​det tredje barn plus vogn er 23,0 kg. (a) Hvad er interessesystemet, hvis barnets acceleration i vognen skal beregnes? (Se diagrammet for frit legeme.) (B) Beregn accelerationen. (c) Hvad ville accelerationen være, hvis friktionen var 15,0 N?

En bil med en masse på 1000,0 kg accelererer fra 0 til 90,0 km / t på 10,0 sek. (a) Hvad er dens acceleration? (b) Hvad er nettokraften på bilen?

Føreren i det forrige problem bremser, når bilen kører i 90,0 km / t, og bilen hviler efter at have kørt 40,0 m. Hvad er nettokraften på bilen under dens acceleration modsat bevægelsen?

Antag at partiklen i det forrige problem også oplever kræfter F → 2 = −15 i ^ N F → 2 = −15 i ^ N og F → 3 = 6,0 j ^ N. F → 3 = 6,0 j ^ N. Hvad er dens acceleration i dette tilfælde?

Find accelerationen af ​​kroppen med en masse på 5,0 kg vist nedenfor.

I den følgende figur er den vandrette overflade, hvorpå denne blok glider, friktionsfri. Hvis de to kræfter, der virker på den, hver har størrelse F = 30,0 N F = 30,0 N og M = 10,0 kg M = 10,0 kg, hvad er størrelsen af ​​den resulterende acceleration af blokken?

5.4 Masse og vægt

Vægten af ​​en astronaut plus hans rumdragt på månen er kun 250 N. (a) Hvor meget vejer den egnede astronaut på Jorden? (b) Hvad er massen på Månen? På jorden?

Gentag det forrige problem for en situation, hvor raketsleden accelererer modsat bevægelsen med en hastighed på 201 m / s 2 201 m / s 2. I dette problem udøves kræfterne af sædet og sikkerhedsselen.

En krop med en masse på 2,00 kg skubbes lige opad af en 25,0 N lodret kraft. Hvad er dens acceleration?

En bil, der vejer 12.500 N, starter fra hvile og accelererer til 83,0 km / t på 5,00 sek. Friktionskraften er 1350 N. Find den anvendte kraft produceret af motoren.

En krop med en masse på 10,0 kg antages at være i jordens tyngdefelt med g = 9,80 m / s 2 g = 9,80 m / s 2. Hvad er nettokraften på kroppen, hvis der ikke er andre eksterne kræfter, der virker på objektet?

En brandmand har masse m han hører brandalarmen og glider ned ad stangen med acceleration -en (hvilket er mindre end g i størrelsesorden). (a) Skriv en ligning, der giver den lodrette kraft, han skal anvende på stangen. (b) Hvis hans masse er 90,0 kg, og han accelererer ved 5,00 m / s 2, 5,00 m / s 2, hvad er størrelsen af ​​hans påførte kraft?

En baseballfanger udfører et stunt for en tv-reklame. Han fanger et baseball (masse 145 g) faldet fra en højde på 60,0 m over hans handske. Hans handske stopper bolden på 0,0100 s. Hvad er den kraft, som hans handske udøver på bolden?

5.5 Newtons tredje lov

(a) Hvilken netto ekstern kraft udøves på en 1100,0 kg artilleriskal affyret fra et slagskib, hvis skallen accelereres med 2,40 × 10 4 m / s 2? 2,40 × 10 4 m / s 2? (b) Hvad er størrelsen af ​​den styrke, som artilleriskallen udøver på skibet, og hvorfor?

En modig, men utilstrækkelig rugbyspiller skubbes baglæns af en modspiller, der udøver en styrke på 800,0 N på ham. Massen på den tabende spiller plus udstyr er 90,0 kg, og han accelererer baglæns ved 1,20 m / s 2 1,20 m / s 2. (a) Hvad er friktionskraften mellem den tabende spillers fødder og græsset? (b) Hvilken kraft udøver den vindende spiller på jorden for at bevæge sig fremad, hvis hans masse plus udstyr er 110,0 kg?

En historiebog ligger oven på en fysikbog på et skrivebord, som vist nedenfor vises også et frit kropsdiagram. Historie- og fysikbøgerne vejer henholdsvis 14 N og 18 N. Identificer hver kraft på hver bog med en dobbelt abonnementsnotation (for eksempel kan kontaktkraften for historikbogen, der presser mod fysikbogen, beskrives som F → HP F → HP), og bestem værdien af ​​hver af disse kræfter og forklar den anvendte proces.

En lastbil kolliderer med en bil, og under kollisionen er nettokraften på hvert køretøj i det væsentlige den kraft, som den anden udøver. Antag, at bilens masse er 550 kg, lastbilens masse er 2200 kg, og størrelsen af ​​truckens acceleration er 10 m / s 2 10 m / s 2. Find størrelsen på bilens acceleration.

5.6 Fælles styrker

Et ben er ophængt i et trækkraft som vist nedenfor. (a) Hvilken remskive i figuren bruges til at beregne den kraft, der udøves på foden? (b) Hvad er spændingen i rebet? Her er T → T → spændingen, w → ben w → ben er vægten af ​​benet, og w → w → er vægten af ​​den belastning, der giver spændingen.

Antag at skinnebenet i det foregående billede var en lårben i en trækkraftopsætning for en knækket knogle, med remskiver og reb til rådighed. Hvordan kan vi være i stand til at øge kraften langs lårbenet med den samme vægt?

To hold på ni medlemmer deltager hver i en trækstyrke, der trækker i modsatte retninger på et vandret reb. Hver af det første holds medlemmer har en gennemsnitlig masse på 68 kg og udøver en gennemsnitlig kraft på 1350 N vandret på jorden, når de trækker i rebet. Hver af det andet holds medlemmer har en gennemsnitlig masse på 73 kg og udøver en gennemsnitlig kraft på 1365 N vandret på jorden, når de trækker i rebet i den modsatte retning. (a) Hvad er størrelsen af ​​accelerationen for de to hold, og hvilket hold vinder? (b) Hvad er spændingen i rebsektionen mellem holdene?

Hvilken kraft har en trampolin til at anvende Jennifer, en gymnast på 45,0 kg, for at accelerere hende lige op i 7,50 m / s 2 7,50 m / s 2? Svaret er uafhængig af gymnastens hastighed - hun kan bevæge sig op eller ned eller kan straks være stille.


39 Newtons universelle lov om tyngdekraft

Hvad har ømme fødder, et faldende æble og Månens bane til fælles? Hver er forårsaget af tyngdekraften. Vores fødder er anstrengt ved at understøtte vores vægt - kraften fra Jordens tyngdekraft på os. Et æble falder ned fra et træ på grund af den samme kraft, der virker nogle få meter over jordens overflade. Og månen kredser om Jorden, fordi tyngdekraften er i stand til at levere den nødvendige centripetale kraft i en afstand på hundreder af millioner af meter. Faktisk får den samme kraft planeter til at kredse om solen, stjerner, der kredser om midten af ​​galaksen, og galakser klynges sammen. Tyngdekraft er et andet eksempel på underliggende enkelhed i naturen. Det er den svageste af de fire grundlæggende kræfter, der findes i naturen, og på nogle måder den mindst forståede. Det er en kraft, der virker på afstand uden fysisk kontakt, og udtrykkes af en formel, der er gyldig overalt i universet, for masser og afstande, der varierer fra den lille til den enorme.

Sir Isaac Newton var den første videnskabsmand, der præcist definerede tyngdekraften og viste, at den kunne forklare både faldende kroppe og astronomiske bevægelser. Se (figur). Men Newton var ikke den første, der mistænkte, at den samme kraft forårsagede både vores vægt og bevægelse af planeter. Hans forløber Galileo Galilei havde hævdet, at faldende kroppe og planetbevægelser havde samme årsag. Nogle af Newtons samtidige, såsom Robert Hooke, Christopher Wren og Edmund Halley, havde også gjort nogle fremskridt hen imod forståelse af gravitation. Men Newton var den første til at foreslå en nøjagtig matematisk form og brugte den form til at vise, at himmellegemernes bevægelse skulle være keglesnit - cirkler, ellipser, paraboler og hyperboler. Denne teoretiske forudsigelse var en stor triumf - det havde været kendt i nogen tid, at måner, planeter og kometer følger sådanne stier, men ingen havde været i stand til at foreslå en mekanisme, der fik dem til at følge disse stier og ikke andre.

Gravitationskraften er relativt enkel. Det er altid attraktivt, og det afhænger kun af de involverede masser og afstanden mellem dem. Nytons universelle lov for tyngdekraft angives på moderne sprog, at enhver partikel i universet tiltrækker hver anden partikel med en kraft langs en linje, der forbinder dem. Kraften er direkte proportional med produktet af deres masser og omvendt proportional med kvadratet for afstanden imellem dem.

Kraftens størrelse på hvert objekt (den ene har større masse end den anden) er den samme, i overensstemmelse med Newtons tredje lov.

De kroppe, vi har at gøre med, er ofte store. For at forenkle situationen antager vi, at kroppen fungerer som om hele dens masse er koncentreret på et specifikt punkt kaldet massecentret (CM), som vil blive nærmere undersøgt i Lineær Momentum og Kollisioner. For to kroppe, der har masser og med en afstand mellem deres massecentre er ligningen for Newtons universelle gravitationslov

hvor er tyngdekraftens størrelse og er en proportionalitetsfaktor kaldet tyngdekonstanten. er en universel tyngdekonstant - dvs. det antages at være den samme overalt i universet. Det er blevet målt eksperimentelt at være

i SI-enheder. Bemærk, at enhederne i er sådan, at der opnås en kraft i newton fra , når man overvejer masser i kg og afstand i meter. For eksempel vil to masser på 1.000 kg adskilt af 1.000 m opleve en tyngdekraftsattraktion på . Dette er en ekstraordinær lille styrke. Den lille tyngdekraft er i overensstemmelse med hverdagens oplevelse. Vi er uvidende om, at selv store genstande som bjerge udøver tyngdekræfter på os. Faktisk er vores kropsvægt kraften tiltrækkende af hele jorden på os med en masse af .

Husk, at accelerationen på grund af tyngdekraften er om på jorden. Vi kan nu afgøre, hvorfor det er sådan. Vægten af ​​et objekt mg er tyngdekraften mellem den og Jorden. Udskiftning mg til i Newtons universelle gravitationslov giver

hvor er genstandens masse, er jordens masse, og er afstanden til centrum af jorden (afstanden mellem objektets massecentre og jorden). Se (figur). Massen af objektet annulleres og efterlader en ligning for :

Udskiftning af kendte værdier for jordens masse og radius (til tre signifikante tal)

og vi får en værdi for accelerationen af ​​et faldende legeme:

Dette er den forventede værdi og er uafhængig af kroppens masse. Newtons gravitationslov tager Galileos observation, at alle masser falder med den samme acceleration et skridt videre og forklarer observationen i form af en kraft, der får objekter til at falde - faktisk med hensyn til en universelt eksisterende tiltrækningskraft mellem masserne.

Tag en marmor, en kugle og en ske og slip dem fra samme højde. Rammer de gulvet på samme tid? Hvis du også taber et stykke papir, opfører det sig som de andre objekter? Forklar dine observationer.

Der forsøges stadig at forstå tyngdekraften. Som vi skal se i partikelfysik, udforsker moderne fysik forbindelserne af tyngdekraften til andre kræfter, rum og tid. Generel relativitetsteori ændrer vores syn på tyngdekraft og får os til at tænke på tyngdekraft som bøjning af rum og tid.

I det følgende eksempel foretager vi en sammenligning svarende til den, der er foretaget af Newton selv. Han bemærkede, at hvis tyngdekraften fik månen til at kredser om Jorden, så skulle accelerationen på grund af tyngdekraften være lig med Månens centripetale acceleration i sin bane. Newton fandt ud af, at de to accelerationer var enige "temmelig næsten."

(a) Find accelerationen på grund af Jordens tyngdekraft i afstanden fra Månen.

(b) Beregn den nødvendige centripetalacceleration for at holde månen i sin bane (forudsat en cirkulær bane omkring en fast jord), og sammenlign den med værdien af ​​accelerationen på grund af jordens tyngdekraft, som du lige har fundet.

Denne beregning er den samme som den, der finder accelerationen på grund af tyngdekraften på jordens overflade, bortset fra at er afstanden fra Jordens centrum til Månens centrum. Radien af ​​Månens næsten cirkulære bane er .

Løsning til (a)

Udskiftning af kendte værdier i udtrykket for fundet ovenfor, husk det er jordens masse ikke månen, giver

Centripetal acceleration kan beregnes ved hjælp af begge former for

Vi vælger at bruge den anden form:

hvor er Månens vinkelhastighed omkring Jorden.

Løsning til (b)

I betragtning af at perioden (den tid det tager at foretage en fuldstændig rotation) af Månens bane er 27,3 dage, (d) og ved brug af

Den centripetale acceleration er

Retningen af ​​accelerationen er mod midten af ​​jorden.

Månens centripetale acceleration, der findes i (b), adskiller sig med mindre end 1% fra accelerationen på grund af jordens tyngdekraft fundet i (a). Denne aftale er omtrentlig, fordi Månens bane er let elliptisk, og Jorden ikke er stationær (snarere drejer Jord-Månesystemet omkring dets massecenter, som ligger ca. 1700 km under Jordens overflade). Den klare implikation er, at Jordens tyngdekraft får Månen til at kredse om Jorden.

Hvorfor forbliver Jorden ikke stille, mens Månen kredser om den? Dette er, som forventet fra Newtons tredje lov, hvis Jorden udøver en kraft på Månen, så må Månen udøve en lige og modsat kraft på Jorden (se (figur)). Vi fornemmer ikke Månens virkning på Jordens bevægelse, fordi Månens tyngdekraft bevæger vores kroppe lige sammen med Jorden, men der er andre tegn på Jorden, der tydeligt viser effekten af ​​Månens tyngdekraft som diskuteret i satellitter og Keplers love: En Argument for enkelhed.

Tidevand

Tidevand i havet er et meget observerbart resultat af Månens tyngdekraft, der virker på Jorden. (Figur) er en forenklet tegning af Månens position i forhold til tidevandet. Fordi vand let strømmer på jordens overflade, skabes en højvande på den side af jorden, der er nærmest månen, hvor månens tyngdekraft er stærkest. Hvorfor er der også højvande på den modsatte side af Jorden? Svaret er, at Jorden trækkes mod Månen mere end vandet på den anden side, fordi Jorden er tættere på Månen. Så vandet på den side af jorden, der er tættest på månen, trækkes væk fra jorden, og jorden trækkes væk fra vandet på den anden side. Når Jorden roterer, holder tidevandsbølgen (en effekt af tidevandskræfterne mellem en naturlig satellit i kredsløb og den primære planet, som den kredser om) sin retning med Månen. Der er således to tidevand om dagen (den faktiske tidevandsperiode er cirka 12 timer og 25,2 minutter), fordi månen også bevæger sig i sin bane hver dag).

Solen påvirker også tidevand, skønt den har omkring halvdelen af ​​månens effekt. Imidlertid forekommer de største tidevand, kaldet spring tidevand, når Jorden, Månen og Solen er justeret. De mindste tidevand, kaldet neap tidevand, opstår, når solen er ved en vinkel til Jord-Måne-tilpasningen.

(a, b) Spring tidevand: De højeste tidevand opstår, når Jorden, Månen og Solen er justeret. (c) Tidevand: De laveste tidevand opstår, når solen ligger ved til Jord-Månens tilpasning. Bemærk, at dette tal ikke er tegnet i målestok.

Tidevand er ikke unikke for Jorden, men forekommer i mange astronomiske systemer. De mest ekstreme tidevand forekommer, hvor tyngdekraften er den stærkeste og varierer hurtigst, såsom nær sorte huller (se (figur)). Et par sandsynlige kandidater til sorte huller er blevet observeret i vores galakse. Disse har masser, der er større end Solen, men har diametre kun få kilometer over. Tidevandskræfterne i nærheden af ​​dem er så store, at de rent faktisk kan rive stof fra en ledsagerstjerne.

”Vægtløshed” og mikrogravitation

I modsætning til den enorme tyngdekraft nær sorte huller er det tilsyneladende tyngdefelt, der opleves af astronauter, der kredser om Jorden. Hvad er virkningen af ​​"vægtløshed" på en astronaut, der har været i kredsløb i flere måneder? Eller hvad med effekten af ​​vægtløshed på plantevæksten? Vægtløshed betyder ikke, at en astronaut ikke bliver handlet af tyngdekraften. Der er ingen "nul tyngdekraft" i en astronauts bane. Udtrykket betyder bare, at astronauten er i frit fald og accelererer med accelerationen på grund af tyngdekraften. Hvis et elevatorkabel går i stykker, vil passagererne indeni være i frit fald og opleve vægtløshed. Du kan opleve korte perioder med vægtløshed i nogle forlystelser i forlystelsesparker.

Mikrogravitation henviser til et miljø, hvor den tilsyneladende nettoacceleration af en krop er lille sammenlignet med det, der produceres af Jorden på overfladen. Mange interessante biologi- og fysikemner er blevet undersøgt i løbet af de sidste tre årtier i nærvær af mikrogravitation. Af umiddelbar bekymring er virkningen på astronauter i længere tid i det ydre rum, som f.eks. Ved den internationale rumstation. Forskere har observeret, at muskler vil atrofi (bortfalde) i dette miljø. Der er også et tilsvarende tab af knoglemasse. Undersøgelsen fortsætter med kardiovaskulær tilpasning til rumflyvning. På jorden er blodtrykket normalt højere i fødderne end i hovedet, fordi den højere søjle af blod udøver en nedadgående kraft på den på grund af tyngdekraften. Når du står, er 70% af dit blod under hjertets niveau, mens det er i en vandret position, lige det modsatte. Hvilken forskel har fraværet af denne trykforskel på hjertet?

Nogle fund i menneskets fysiologi i rummet kan være klinisk vigtige for håndteringen af ​​sygdomme tilbage på jorden. På en noget negativ note er det kendt, at rumfart påvirker det menneskelige immunsystem, hvilket muligvis gør besætningsmedlemmerne mere sårbare over for smitsomme sygdomme. Eksperimenter, der er fløjet i rummet, har også vist, at nogle bakterier vokser hurtigere i mikrogravitation, end de gør på Jorden. På en positiv note viser studier imidlertid, at mikrobiel antibiotikaproduktion kan øges med en faktor to i rumvoksede kulturer. Man håber at være i stand til at forstå disse mekanismer, så lignende succeser kan opnås på stedet. I et andet område af fysikforskning i rummet er uorganiske krystaller og proteinkrystaller blevet dyrket i det ydre rum, der har meget højere kvalitet end nogen dyrket på Jorden, så krystallografistudier om deres struktur kan give meget bedre resultater.

Planter har udviklet sig med tyngdekraftens stimulus og med tyngdekraftsensorer. Rødder vokser nedad og skud vokser opad. Planter kan muligvis give et livsstøttesystem til langvarige rumopgaver ved at regenerere atmosfæren, rense vand og producere mad. Nogle undersøgelser har vist, at plantevækst og -udvikling ikke påvirkes af tyngdekraften, men der er stadig usikkerhed om strukturelle ændringer i planter, der dyrkes i et mikrogravitationsmiljø.

Cavendish-eksperimentet: Dengang og nu

Som tidligere nævnt er den universelle tyngdekonstant bestemmes eksperimentelt. Denne definition blev først udført nøjagtigt af Henry Cavendish (1731-1810), en engelsk videnskabsmand, i 1798, mere end 100 år efter, at Newton offentliggjorde sin universelle lov om tyngdekraft. Målingen af er meget grundlæggende og vigtigt, fordi det bestemmer styrken af ​​en af ​​de fire kræfter i naturen. Cavendishs eksperiment var meget vanskeligt, fordi han målte den lille tyngdekraftsattraktion mellem to masser i almindelig størrelse (højst snesevis af kg) ved hjælp af apparater som det i (figur). Bemærkelsesværdigt, hans værdi for adskiller sig med mindre end 1% fra den bedste moderne værdi.

En vigtig konsekvens af at vide var, at en nøjagtig værdi for Jordens masse endelig kunne opnås. Dette blev gjort ved at måle accelerationen på grund af tyngdekraften så nøjagtigt som muligt og derefter beregne jordens masse fra forholdet, Newtons universelle lov om tyngdekraft giver

hvor er genstandens masse, er jordens masse, og er afstanden til centrum af jorden (afstanden mellem objektets massecentre og jorden). Se (figur). Massen af objektet annulleres og efterlader en ligning for :

Omarrangere at løse for udbytter

kan beregnes, fordi alle størrelser til højre, inklusive jordens radius kendes fra direkte målinger. Vi skal se i satellitter og Kepler's love: et argument for enkelhed at kende tillader også bestemmelse af astronomiske masser. Interessant nok af alle de grundlæggende konstanter i fysik, er langt den mindst velbestemte.

Cavendish-eksperimentet bruges også til at udforske andre aspekter af tyngdekraften. Et af de mest interessante spørgsmål er, om tyngdekraften afhænger af stof såvel som masse - for eksempel om et kilo bly udøver den samme tyngdekraft som et kilo vand. En ungarsk videnskabsmand ved navn Roland von Eötvös var banebrydende i denne undersøgelse tidligt i det 20. århundrede. Han fandt med en nøjagtighed på fem dele pr. Milliard, at tyngdekraften ikke afhænger af stoffet. Sådanne eksperimenter fortsætter i dag og har forbedret Eötvös 'målinger. Eksperimenter af Cavendish-typen som Eric Adelberger og andre ved University of Washington har også sat alvorlige grænser for muligheden for en femte kraft og har verificeret en stor forudsigelse af generel relativitet - at tyngdekraften bidrager til hvilemasse. Løbende målinger der bruger en torsionsbalance og en parallel plade (ikke kugler, som Cavendish brugte) til at undersøge, hvordan Newtons gravitationslov fungerer over sub-millimeter afstande. På denne lille skala afviger gravitationseffekter fra den omvendte firkantede lov? Indtil videre er der ikke observeret nogen afvigelse.

Cavendish brugte et apparat som dette til at måle tyngdekraften mellem de to ophængte kugler () og de to på stativet () ved at observere mængden af ​​vridning (vridning) skabt i fiberen. Afstanden mellem masserne kan varieres for at kontrollere afhængigheden af ​​kraften på afstanden. Moderne eksperimenter af denne type fortsætter med at udforske tyngdekraften.

Sektionsoversigt

  • Newtons universelle gravitationslov: Hver partikel i universet tiltrækker enhver anden partikel med en kraft langs en linje, der forbinder dem. Kraften er direkte proportional med produktet af deres masser og omvendt proportional med kvadratet for afstanden imellem dem. I ligningsform er dette

hvor F er tyngdekraftens størrelse. er tyngdekonstanten, givet af .

Konceptuelle spørgsmål

Handling på afstand, som det er tilfældet for tyngdekraften, blev engang anset for at være ulogisk og derfor usant. Hvad er den ultimative determinant for sandheden i fysik, og hvorfor blev denne handling i sidste ende accepteret?

To venner har en samtale. Anna siger, at en satellit i kredsløb er i frit fald, fordi satellitten bliver ved med at falde mod Jorden. Tom siger, at en satellit i kredsløb ikke er i frit fald, fordi accelerationen på grund af tyngdekraften ikke er . Hvem er du enig med, og hvorfor?

Tegn et frit kropsdiagram for en satellit i en elliptisk bane, der viser, hvorfor dens hastighed stiger, når den nærmer sig sin moderkrop og falder, når den bevæger sig væk.

Newtons love om bevægelse og tyngdekraft var blandt de første, der på en overbevisende måde demonstrerede den underliggende enkelhed og enhed i naturen. Mange andre eksempler er siden blevet opdaget, og vi forventer nu at finde en sådan underliggende orden i komplekse situationer. Er der bevis for, at en sådan ordre altid vil findes i nye udforskninger?

Problemøvelser

(a) Beregn jordens masse i betragtning af accelerationen på grund af tyngdekraften på Nordpolen er og Jordens radius er 6371 km fra centrum til pol.

(b) Sammenlign dette med den accepterede værdi af .

en)

b) Dette er identisk med den bedste værdi for tre signifikante tal.

(a) Beregn størrelsen på accelerationen på grund af tyngdekraften på jordens overflade på grund af månen.

(b) Beregn størrelsen af ​​accelerationen på grund af tyngdekraften på jorden på grund af solen.

(c) Tag forholdet mellem Månens acceleration og Solens og kommenter, hvorfor tidevandet overvejende skyldes Månen på trods af dette antal.

(a) Hvad er accelerationen på grund af tyngdekraften på Månens overflade?

(b) På overfladen af ​​Mars? Massen af ​​Mars er og dens radius er .

en)

b)

(a) Beregn accelerationen på grund af tyngdekraften på solens overflade.

(b) Med hvilken faktor ville din vægt stige, hvis du kunne stå på solen? (Husk, at du ikke kan.)

Månen og Jorden roterer omkring deres fælles massecenter, som ligger ca. 4700 km fra centrum af jorden. (Dette er 1690 km under overfladen.)

(a) Beregn størrelsen på accelerationen på grund af Månens tyngdekraft på det tidspunkt.

(b) Beregn størrelsen af ​​den centripetale acceleration af Jordens centrum, når den roterer omkring det punkt en gang hver månemåned (ca. 27,3 d), og sammenlign den med den acceleration, der findes i del (a). Kommenter om de er lige eller ikke, og hvorfor de skal eller ikke skal være.

en)

b)

Værdierne er næsten identiske. Man kunne forvente, at tyngdekraften var den samme som den centripetale kraft i systemets kerne.

Løs del (b) af (figur) ved hjælp af .

Astrologi, den usandsynlige og vage pseudovidenskab, udgør meget af planetenes position på tidspunktet for ens fødsel. Den eneste kendte kraft, som en planet udøver på jorden, er tyngdekraften.

(a) Beregn størrelsen af ​​tyngdekraften, der udøves på en 4,20 kg baby af en 100 kg far, der er 0,200 m væk ved fødslen (han hjælper, så han er tæt på barnet).

(b) Beregn størrelsen på kraften på babyen, der skyldes Jupiter, hvis den er i dens nærmeste afstand til Jorden, nogle væk. Hvordan sammenlignes Jupiters kraft på babyen med farens kraft på babyen? Andre genstande i rummet og hospitalets bygning udøver også lignende tyngdekrafter. (Selvfølgelig kan der være en ukendt kraft, der handler, men forskere skal først være overbeviste om, at der endda er en virkning, meget mindre at en ukendt kraft forårsager den.)

en)

b) ,

Eksistensen af ​​dværgplaneten Pluto blev foreslået baseret på uregelmæssigheder i Neptuns bane. Pluto blev efterfølgende opdaget i nærheden af ​​sin forudsagte position. Men det ser nu ud til, at opdagelsen var tilfældig, fordi Pluto er lille, og uregelmæssighederne i Neptuns bane ikke var velkendte. For at illustrere, at Pluto har en mindre effekt på Neptuns bane sammenlignet med den nærmeste planet til Neptun:

(a) Beregn accelerationen på grund af tyngdekraften ved Neptun på grund af Pluto, når de er fra hinanden, som de er i øjeblikket. Massen af ​​Pluto er .

(b) Beregn accelerationen på grund af tyngdekraften ved Neptun på grund af Uranus, i øjeblikket ca. fra hinanden, og sammenlign det med det på grund af Pluto. Massen af ​​Uranus er .

(a) Solen kredser en gang om mælkevejsgalaksen med en gennemsnitlig cirkelformet bane lysår i radius. (Et lysår er den tilbagelagte afstand i 1 år.) Beregn solens centripetale acceleration i dens galaktiske bane.Understøtter dit resultat påstanden om, at en næsten inertiel referenceramme kan findes ved solen?

(b) Beregn solens gennemsnitshastighed i dens galaktiske bane. Overrasker svaret dig?

en)

b)

Urimeligt resultat

Et bjerg 10,0 km fra en person udøver en tyngdekraft på ham svarende til 2,00% af hans vægt.

(a) Beregn bjergets masse.

(b) Sammenlign bjergets masse med jordens.

(c) Hvad er urimeligt ved disse resultater?

(d) Hvilke lokaler er urimelige eller inkonsekvente? (Bemærk, at nøjagtige tyngdekraftsmålinger let kan registrere effekten af ​​nærliggende bjerge og variationer i lokal geologi.)

en)

b)

c) Bjergets masse og dets brøkdel af jordens masse er for stor.

d) Den tyngdekraft, der antages at udøves af bjerget, er for stor.

Ordliste


13.4 Satellitbaner og energi

Månen kredser om Jorden. Til gengæld kredser Jorden og de andre planeter rundt om solen. Rummet direkte over vores atmosfære er fyldt med kunstige satellitter i kredsløb. Vi undersøger den enkleste af disse baner, den cirkulære bane, for at forstå forholdet mellem planetenes og satellitternes hastighed og periode i forhold til deres positioner og de kroppe, de kredser om.

Cirkulære baner

Som bemærket i begyndelsen af ​​dette kapitel foreslog Nicolaus Copernicus først, at Jorden og alle andre planeter kredser om solen i cirkler. Han bemærkede endvidere, at orbitale perioder steg med afstanden fra solen. Senere analyse af Kepler viste, at disse baner faktisk er ellipser, men banerne på de fleste planeter i solsystemet er næsten cirkulære. Jordens kredsløbsafstand fra solen varierer kun 2%. Undtagelsen er den excentriske bane af kviksølv, hvis kredsløbsafstand varierer næsten 40%.

Bestemmelse af orbitale hastighed og omløbstid af en satellit er meget lettere for cirkulære baner, så vi antager den antagelse i den følgende afledning. Som vi beskrev i det foregående afsnit er et objekt med negativ total energi tyngdekraftsbundet og derfor i kredsløb. Vores beregning af det specielle tilfælde af cirkulære baner vil bekræfte dette. Vi fokuserer på objekter, der kredser om Jorden, men vores resultater kan generaliseres i andre tilfælde.

Overvej en satellit med masse m i en cirkulær bane omkring jorden på afstand r fra midten af ​​jorden ((figur)). Det har centripetal acceleration rettet mod midten af ​​jorden. Jordens tyngdekraft er den eneste kraft, der virker, så Newtons anden lov giver

Figur 13.12 En satellit med masse m, der kredser i radius r fra midten af ​​jorden. Gravitationskraften leverer centripetal acceleration.

Vi løser hastigheden på kredsløbet og bemærker det m annullerer for at få kredsløbshastigheden

I overensstemmelse med det, vi så i (figur) og (figur), m vises ikke i (figur). Værdien af g, flugthastigheden og orbitalhastigheden afhænger kun af afstanden fra centrum af planeten, og ikke på massen af ​​det objekt, der handles på. Bemærk ligheden i ligningerne for

. Escape-hastigheden er nøjagtigt

gange større, ca. 40%, end orbitalhastigheden. Denne sammenligning blev bemærket i (figur), og det gælder for en satellit i enhver radius.

For at finde perioden med en cirkulær bane bemærker vi, at satellitten bevæger sig omkredsen af ​​banen

i en periode T. Ved hjælp af definitionen af ​​hastighed har vi

. Vi erstatter dette i (figur) og omarrangerer for at få

Vi ser i det næste afsnit, at dette repræsenterer Keplers tredje lov for cirkulære baner. Det bekræfter også Copernicus 'observation, at perioden på en planet øges med stigende afstand fra solen. Vi behøver kun udskifte

Vi afslutter dette afsnit med at vende tilbage til vores tidligere diskussion om astronauter i kredsløb, der ser ud til at være vægtløse, som om de var frit faldende mod Jorden. Faktisk er de i frit fald. Overvej banerne vist i (figur). (Denne figur er baseret på en tegning af Newton i hans Principia og dukkede også op tidligere i bevægelse i to og tre dimensioner.) Alle viste baner, der rammer jordens overflade, har mindre end orbitalhastighed. Astronauterne ville accelerere mod Jorden langs de ikke-cirkulære stier, der blev vist, og føle sig vægtløse. (Astronauter træner faktisk for livet i kredsløb ved at køre i fly, der frit falder i 30 sekunder ad gangen.) Men med den korrekte orbitalhastighed kurver Jordens overflade væk fra dem i nøjagtig samme hastighed, som de falder mod Jorden. At holde sig i samme afstand fra overfladen er selvfølgelig punktet for en cirkulær bane.

Figur 13.13 En cirkulær bane er resultatet af at vælge en tangentiel hastighed, således at Jordens overflade buer væk i samme hastighed som objektet falder mod Jorden.

Vi kan sammenfatte vores diskussion af satellitter i kredsløb i den følgende problemløsningsstrategi.

Problemløsningsstrategi: kredsløb og energibesparelse

  1. Bestem om ligningerne for hastighed, energi eller periode er gyldige for det aktuelle problem. Hvis ikke, start med de første principper, vi brugte til at udlede disse ligninger.
  2. For at starte med de første principper skal du tegne et frit kropsdiagram og anvende Newtons gravitationslov og Newtons anden lov.
  3. Sammen med definitionerne for hastighed og energi skal du anvende Newtons anden bevægelseslov på de interesserede kroppe.

Eksempel

Den Internationale Rumstation

Bestem omløbshastighed og periode for International rum Station (ISS).

Strategi

over jordens overflade, er den radius, som den kredser om

. Vi bruger (figur) og (figur) til at finde henholdsvis kredsløbshastighed og periode.

Opløsning

Ved hjælp af (figur) er orbitalhastigheden

hvilket er omkring 17.000 mph. Ved hjælp af (figur) er perioden

hvilket er lidt over 90 minutter.

Betydning

ISS anses for at være i lav jordbane (LEO). Næsten alle satellitter er i LEO, inklusive de fleste vejrsatellitter. GPS-satellitter, omkring 20.000 km, betragtes som en medium jordbane. Jo højere bane, jo mere energi kræves for at sætte den der, og jo mere energi er der brug for for at nå den til reparationer. Af særlig interesse er satellitterne i geosynkron bane. Alle faste parabolantenner på jorden, der peger mod himlen, såsom tv-modtagefade, peger mod geosynkrone satellitter. Disse satellitter er placeret i den nøjagtige afstand og lige over ækvator, således at deres kredsløbsperiode er 1 dag. De forbliver i en fast position i forhold til jordens overflade.

Tjek din forståelse

Med hvilken faktor skal radius ændre sig for at reducere en satellits orbitale hastighed med halvdelen? Med hvilken faktor ville dette ændre perioden?

[afslør-svar q = & # 8221fs-id1168327873289 & # 8243] Vis løsning [/ afslør-svar]

I (figur) vises radius i nævneren inde i kvadratroden. Så radiusen skal øges med en faktor 4 for at reducere kredsløbshastigheden med en faktor 2. Omkredsen af ​​kredsløbet er også steget med denne faktor 4, og så med halvdelen af ​​kredsløbshastigheden skal perioden være 8 gange længere. Dette kan også ses direkte fra (figur).

Eksempel

Bestemmelse af jordens masse

Bestem jordens masse fra Månens bane.

Strategi

og erstatte kredsløbets periode og radius. Radius og periode for Månens bane blev målt med rimelig nøjagtighed for tusinder af år siden. Fra de astronomiske data i tillæg D er månens periode 27,3 dage

, og gennemsnit afstanden mellem centrum af jorden og månen er 384.000 km.

Opløsning

Betydning

Sammenlign dette med værdien af

som vi opnåede i (figur) ved hjælp af værdien af g på jordens overflade. Selvom disse værdier er meget tætte (

0,8%), begge beregninger bruger gennemsnitlige værdier. Værdien af g varierer fra ækvator til poler med ca. 0,5%. Men månen har en elliptisk bane, hvor værdien af r varierer lidt over 10%. (Den tilsyneladende størrelse på fuldmånen varierer faktisk med cirka dette beløb, men det er vanskeligt at bemærke gennem tilfældig observation, da tiden fra den ene ekstreme til den anden er mange måneder.)

Tjek din forståelse

Der er en anden overvejelse ved denne sidste beregning af

. Vi afledte (figur) under antagelse af, at satellitten kredser omkring centrum af det astronomiske legeme i samme radius, der blev brugt i udtrykket for tyngdekraften mellem dem. Hvilken antagelse antages for at retfærdiggøre dette? Jorden er omkring 81 gange mere massiv end Månen. Kredser månen om det nøjagtige centrum af jorden?

[afslør-svar q = & # 8221fs-id1168328196787 & # 8243] Vis løsning [/ afslør-svar]

Antagelsen er, at en kredsende genstand er meget mindre massiv end den krop, den kredser om. Dette er ikke rigtig berettiget i tilfælde af Månen og Jorden. Både Jorden og Månen kredser om deres fælles massecenter. Vi tackler dette spørgsmål i det næste eksempel.

Eksempel

Galaktisk hastighed og periode

Lad os besøge igen (figur). Antag, at mælkevejen og Andromeda-galakserne befinder sig i en cirkulær bane omkring hinanden. Hvad ville hastigheden for hver være, og hvor lang ville deres kredsløbstid være? Antag, at massen af ​​hver er 800 milliarder solmasser, og deres centre er adskilt af 2,5 millioner lysår.

Strategi

Vi kan ikke bruge (figur) og (figur) direkte, fordi de blev afledt under forudsætning af, at genstanden for masse m kredset omkring centrum af en meget større masseplanet M. Vi bestemte tyngdekraften i (figur) ved hjælp af Newtons lov om universel tyngdekraft. Vi kan bruge Newtons anden lov, der anvendes på centripetalacceleration i begge galakse, til at bestemme deres tangentielle hastighed. Fra dette resultat kan vi bestemme kredsløbets periode.

Opløsning

I (figur) fandt vi, at kraften mellem galakserne var

og at accelerationen i hver galakse er

Da galakserne har en cirkulær bane, har de centripetal acceleration. Hvis vi ignorerer virkningen af ​​andre galakser, forbliver de to galaksers massecentre faste, som vi lærte i lineær momentum og kollisioner og rotation med fast akse. Derfor skal galakserne kredser om dette fælles massecenter. For lige masser er massepunktet nøjagtigt halvvejs mellem dem. Så kredsløbets radius,

, er ikke det samme som afstanden mellem galakserne, men halvdelen af ​​denne værdi eller 1,25 millioner lysår. Disse to forskellige værdier er vist i (figur).

Figur 13.14 Afstanden mellem to galakser, der bestemmer tyngdekraften mellem dem, er r og er forskellig fra

, som er kredsløbsradius for hver. For lige masser,

. (kredit: ændring af arbejde af Marc Van Norden)

Brug af udtrykket for centripetal acceleration har vi

Løsning af banehastigheden har vi

. Endelig kan vi bestemme kredsløbets periode direkte fra

, for at finde ud af, at perioden er

Betydning

Omkørselshastigheden på 47 km / s kan synes høj i starten. Men denne hastighed kan sammenlignes med solens flugthastighed, som vi beregnede i et tidligere eksempel. For at give endnu mere perspektiv er denne periode næsten fire gange længere end den tid, universet har eksisteret.

Faktisk er den nuværende relative bevægelse af disse to galakser sådan, at de forventes at kollidere om cirka 4 milliarder år. Selvom tætheden af ​​stjerner i hver galakse gør en direkte kollision mellem to stjerner usandsynlig, vil en sådan kollision have en dramatisk effekt på galaksernes form. Eksempler på sådanne kollisioner er velkendte i astronomi.

Tjek din forståelse

Galakser er ikke enkeltgenstande. Hvordan sammenlignes tyngdekraften i en galakse, der udøves på de "tættere" stjerner i den anden galakse, i forhold til dem, der er længere væk? Hvilken virkning ville dette have på selve galaksernes form?

[afslør-svar q = & # 8221fs-id1168327940994 & # 8243] Vis løsning [/ afslør-svar]

Stjernerne på "indersiden" af hver galakse vil være tættere på den anden galakse og vil derfor føle en større tyngdekraft end dem på ydersiden. Derfor vil de have en større acceleration. Selv uden denne kraftforskel ville de indvendige stjerner kredser i en mindre radius, og derfor ville der udvikle en forlængelse eller strækning af hver galakse. Kraftforskellen øger kun denne effekt.

Se Sloan Digital Sky Survey-siden for mere information om kolliderende galakser.

Energi i cirkulære baner

I Gravitational Potential Energy and Total Energy argumenterede vi for, at objekter er gravitationsbundet, hvis deres samlede energi er negativ. Argumentet var baseret på det enkle tilfælde, hvor hastigheden var direkte væk eller mod planeten. Vi undersøger nu den samlede energi til en cirkulær bane og viser, at den samlede energi faktisk er negativ. Som vi gjorde tidligere, starter vi med Newtons anden lov, der anvendes på en cirkulær bane,

I det sidste trin gangede vi med r på hver side. Den højre side er kun dobbelt så stor som den kinetiske energi, så det har vi

Den samlede energi er summen af ​​de kinetiske og potentielle energier, så vores endelige resultat er

Vi kan se, at den samlede energi er negativ med samme størrelse som den kinetiske energi. For cirkulære baner er størrelsen af ​​den kinetiske energi nøjagtigt halvdelen af ​​størrelsen af ​​den potentielle energi. Bemærkelsesværdigt gælder dette resultat for to masser i cirkulære baner omkring deres fælles massecenter på afstand r fra hinanden. Beviset for dette efterlades som en øvelse. Vi vil se i det næste afsnit, at et meget lignende udtryk gælder i tilfælde af elliptiske baner.

Eksempel

Energi, der kræves for at bane

I (figur) beregnede vi den nødvendige energi til simpelthen at løfte 9000 kg Soyuz køretøj fra jordens overflade til ISS højde, 400 km over overfladen. Med andre ord fandt vi dens lave om i potentiel energi. Vi spørger nu, hvilken total energiforandring i Soyuz køretøj skal tage det fra jordens overflade og sætte det i kredsløb med ISS til et rendezvous ((figur))? Hvor meget af den samlede energi er kinetisk energi?

Figur 13.15 Soyuz i et møde med ISS. Bemærk, at dette diagram ikke skaleres, Soyuz er meget lille sammenlignet med ISS, og dens bane er meget tættere på Jorden. (kredit: ændring af værker af NASA)

Strategi

Den krævede energi er forskellen i Soyuz'S samlede energi i kredsløb, og det ved Jordens overflade. Vi kan bruge (figur) til at finde den samlede energi af Soyuz på ISS-banen. Men den samlede energi på overfladen er simpelthen den potentielle energi, da den starter fra hvile. [Bemærk, at vi lade være med brug (figur) på overfladen, da vi ikke er i kredsløb ved overfladen.] Den kinetiske energi kan derefter findes ud fra forskellen i den samlede energiforandring og ændringen i potentiel energi fundet i (figur). Alternativt kan vi bruge (figur) til at finde

og beregne kinetisk energi direkte ud fra det. Den samlede krævede energi er derefter den kinetiske energi plus ændringen i potentiel energi, der findes i (figur).

Opløsning

Fra (figur), den samlede energi af Soyuz i samme bane som ISS er

Den samlede energi på jordens overflade er

. For at få den kinetiske energi trækker vi ændringen i potentiel energi fra (figur),

. Som tidligere nævnt er den kinetiske energi af en cirkulær bane altid halvdelen af ​​den potentielle energis størrelse og den samme som størrelsen af ​​den samlede energi. Vores resultat bekræfter dette.

Den anden tilgang er at bruge (figur) til at finde kredsløbshastigheden på Soyuz, som vi gjorde for ISS i (figur).

Så den kinetiske energi af Soyuz i kredsløb er

det samme som i den foregående metode. Den samlede energi er retfærdig

Betydning

Den kinetiske energi af Soyuz er næsten otte gange ændringen i dets potentielle energi eller 90% af den samlede energi, der er nødvendig for rendezvous med ISS. Og det er vigtigt at huske, at denne energi kun repræsenterer den energi, der skal gives til Soyuz. Med vores nuværende raketteknologi overstiger fremdrivningssystemets masse (raketbrændstoffet, dets beholder og forbrændingssystem) langt massen af ​​nyttelasten, og der skal gives en enorm mængde kinetisk energi til denne masse. Så de faktiske omkostninger i energi er mange gange så store som ændringen i energi for selve nyttelasten.

Resumé

  • Orbitalhastigheder bestemmes af massen af ​​kroppen, der kredses, og afstanden fra centrum af kroppen, og ikke af massen af ​​et meget mindre kredsløb.
  • Perioden af ​​kredsløbet er ligeledes uafhængig af det kredsende objekts masse.
  • Kroppe med sammenlignelige masser kredser om deres fælles massecenter og deres hastigheder og perioder bør bestemmes ud fra Newtons anden lov og tyngdekraftsloven.

Konceptuelle spørgsmål

En studerende hævder, at en satellit i kredsløb er i frit fald, fordi satellitten stadig falder ned mod Jorden. En anden siger, at en satellit i kredsløb ikke er i frit fald, fordi accelerationen på grund af tyngdekraften ikke er

. Hvem er du enig med, og hvorfor?

Mange satellitter er placeret i geosynkrone baner. Hvad er specielt ved disse baner? Hvor mange af disse satellitter ville være nødvendige for et globalt kommunikationsnetværk?

[afslør-svar q = & # 8221fs-id1168328181926 & # 8243] Vis løsning [/ afslør-svar]

Kredsløbets periode skal være 24 timer. Men derudover skal satellitten være placeret i en ækvatorial bane og kredser i samme retning som jordens rotation. Alle tre kriterier skal være opfyldt for at satellitten skal forblive i en position i forhold til jordens overflade. Mindst tre satellitter er nødvendige, da to på modsatte sider af jorden ikke kan kommunikere med hinanden. (Dette er ikke teknisk tilfældet, da der kunne vælges en bølgelængde, der giver tilstrækkelig diffraktion. Men det ville være fuldstændig upraktisk.)

Problemer

Hvis en planet med 1,5 gange jordens masse rejste i jordens bane, hvad ville dens periode være?

To planeter i cirkulære baner omkring en stjerne har hastigheder på v og 2v. (a) Hvad er forholdet mellem planetenes orbitale radier? (b) Hvad er forholdet mellem deres perioder?

[afslør-svar q = & # 8221fs-id1168328287437 & # 8243] Vis løsning [/ afslør-svar]

Ved hjælp af den gennemsnitlige afstand mellem jorden og solen og jordens omløbstid (a) finder du den centripetale acceleration af jorden i dens bevægelse omkring solen. (b) Sammenlign denne værdi med den centripetale acceleration ved ækvator på grund af jordens rotation.

Hvad er kredsløbsradiusen for en jordsatellit med en periode på 1,00 timer? (b) Hvad er urimeligt ved dette resultat?

[afslør-svar q = & # 8221474777 & # 8243] Vis løsning [/ afslør-svar]
[skjult svar a = & # 8221474777 & # 8243] a.

b. Dette er mindre end Jordens radius. [/ Skjult svar]

Beregn solens masse baseret på data for jordens bane, og sammenlign den opnåede værdi med solens faktiske masse.

Find massen af ​​Jupiter baseret på det faktum, at Io, dens inderste måne, har en gennemsnitlig kredsløbsradius på 421.700 km og en periode på 1,77 dage.

[afslør-svar q = & # 8221fs-id1168328288413 & # 8243] Vis løsning [/ afslør-svar]

Astronomiske observationer af vores Mælkevejs galakse indikerer, at den har en masse på ca.

solmasser. En stjerne, der kredser om galaksenes periferi, er ca.

lysår fra dets centrum. (a) Hvad skal stjernens omløbstid være? (b) Hvis perioden er

år i stedet for, hvad er massen af ​​galaksen? Sådanne beregninger bruges til at antyde eksistensen af ​​andet stof, såsom et meget massivt sort hul i midten af ​​Mælkevejen.

(a) For at forhindre en lille satellit i at køre ind i en nærliggende asteroide placeres den i kredsløb med en periode på 3,02 timer og en radius på 2,0 km. Hvad er massen af ​​asteroiden? (b) Virker denne masse rimelig i forhold til kredsløbets størrelse?

[afslør-svar q = & # 8221fs-id1168327988294 & # 8243] Vis løsning [/ afslør-svar]

b. Satellitten skal være uden for asteroidens radius, så den kan ikke være større end dette. Hvis det var denne størrelse, ville dens densitet være omkring

. Dette er lige over vandets, så det virker ganske rimeligt.
[/ skjult svar]

Månen og Jorden roterer omkring deres fælles massecenter, som ligger ca. 4700 km fra centrum af jorden. (Dette er 1690 km under overfladen.) (A) Beregn accelerationen på grund af Månens tyngdekraft på det tidspunkt. (b) Beregn den centripetale acceleration af Jordens centrum, når den roterer omkring det punkt en gang hver månemåned (ca. 27,3 d), og sammenlign den med den acceleration, der findes i del (a). Kommenter, om de er lige eller ej, og hvorfor de skal eller ikke skal være.

Solen kredser en gang om mælkevejsgalaksen

, med en omtrent cirkulær bane i gennemsnit en radius på

lysår. (Et lysår er den afstand, der er kørt med lys på 1 år.) Beregn solens centripetale acceleration i dens galaktiske bane. Understøtter dit resultat påstanden om, at en næsten inertiel referenceramme kan findes ved solen? (b) Beregn solens gennemsnitshastighed i dens galaktiske bane. Overrasker svaret dig?

[afslør-svar q = & # 8221fs-id1168328321712 & # 8243] Vis løsning [/ afslør-svar]

Ja, den centripetale acceleration er så lille, at den understøtter påstanden om, at en næsten inertiel referenceramme kan placeres ved solen. b.

En geosynkron jordsatellit er en, der har en omløbstid på nøjagtigt 1 dag. Sådanne baner er nyttige til kommunikation og vejrobservation, fordi satellitten forbliver over det samme punkt på Jorden (forudsat at den kredser i ækvatorialplanet i samme retning som Jordens rotation). Beregn radius af en sådan bane baseret på dataene for Jorden i astronomiske data.

Ordliste

orbital periode

tid, der kræves for en satellit til at gennemføre en bane orbitale hastighed en satellits hastighed i en cirkulær bane, den kan også bruges til øjeblikkelig hastighed til ikke-cirkulære baner, hvor hastigheden ikke er konstant


Cavendish-eksperimentet: Dengang og nu

Som tidligere nævnt bestemmes den universelle tyngdekonstant konstant eksperimentelt. Denne definition blev først udført nøjagtigt af Henry Cavendish (1731-1810), en engelsk videnskabsmand, i 1798, mere end 100 år efter, at Newton offentliggjorde sin universelle lov om tyngdekraft. Målingen af ​​er meget grundlæggende og vigtig, fordi den bestemmer styrken af ​​en af ​​de fire kræfter i naturen. Cavendishs eksperiment var meget vanskeligt, fordi han målte den lille tyngdekraft tiltrækning mellem to masser i almindelig størrelse (højst snesevis af kg) ved hjælp af apparater som det i figur 9. Bemærkelsesværdigt adskiller hans værdi for sig med mindre end 1% fra den bedste moderne værdi .

En vigtig konsekvens af at vide var, at en nøjagtig værdi for Jordens masse endelig kunne opnås. Dette blev gjort ved at måle accelerationen på grund af tyngdekraften så nøjagtigt som muligt og derefter beregne jordens masse ud fra forholdet, Newtons universelle gravitationslov giver

hvor er objektets masse, er jordens masse og er afstanden til jordens centrum (afstanden mellem objektets massecentre og jorden). Se figur 2. Objektets masse annulleres og efterlader en ligning for

Omarrangere for at løse udbytter

Så kan beregnes, fordi alle størrelser til højre, inklusive jordens radius er kendt fra direkte målinger. Vi skal se i kapitel 6.6 Satellitter og Kepler's love: et argument for enkelhed, at viden også muliggør bestemmelse af astronomiske masser. Interessant nok er af alle de grundlæggende konstanter i fysik langt den mindst velbestemte.

Cavendish-eksperimentet bruges også til at udforske andre aspekter af tyngdekraften. Et af de mest interessante spørgsmål er, om tyngdekraften afhænger af stof såvel som masse - for eksempel om et kilo bly udøver den samme tyngdekraft som et kilo vand. En ungarsk videnskabsmand ved navn Roland von Eötvös var banebrydende i denne undersøgelse tidligt i det 20. århundrede. Han fandt med en nøjagtighed på fem dele pr. Milliard, at tyngdekraften ikke afhænger af stoffet. Sådanne eksperimenter fortsætter i dag og har forbedret Eötvös 'målinger. Eksperimenter af Cavendish-typen som Eric Adelberger og andre ved University of Washington har også sat alvorlige grænser for muligheden for en femte kraft og har verificeret en stor forudsigelse af generel relativitet - at tyngdekraften bidrager til hvilemasse. Løbende målinger der bruger en torsionsbalance og en parallel plade (ikke kugler, som Cavendish brugte) til at undersøge, hvordan Newtons gravitationslov fungerer over sub-millimeter afstande. På denne lille skala afviger gravitationseffekter fra den omvendte firkantede lov? Indtil videre er der ikke observeret nogen afvigelse.

. Figur 9. Cavendish brugte et apparat som dette til at måle tyngdekraften mellem de to ophængte sfærer (m) og de to på stativet (M) ved at observere mængden af ​​vridning (vridning) skabt i fiberen. Afstanden mellem masserne kan varieres for at kontrollere afhængigheden af ​​kraften på afstanden. Moderne eksperimenter af denne type fortsætter med at udforske tyngdekraften.


Hvorfor drejningsmomentet, som månen udøver på Jorden, får Månen til at øge sin bane? - Astronomi

Dette enkle billede kompliceres desværre af vanskeligheden ved at definere en passende ækvator og equinox. Et problem er, at solens tilsyneladende bevægelse ikke er helt regelmæssig på grund af ellipticiteten i jordens bane og dens kontinuerlige forstyrrelse fra månen og planeterne. Dette håndteres ved at adskille bevægelsen i (i) en glat og stabil gennemsnitlig sol og (ii) et sæt periodiske korrektioner og forstyrrelser, kun den førstnævnte er involveret i at etablere referencerammer og tidsplaner. Et andet, langt større problem er, at den himmelske ækvator og ekliptikken begge bevæger sig i forhold til stjernerne. Disse bevægelser opstår på grund af gravitationsinteraktionerne mellem Jorden og de andre solsystemlegemer.

Langt den største effekt er den såkaldte `` equinoxes '', hvor jordens rotationsakse fejer en kegle centreret på den ekliptiske pol og fuldfører en omdrejning på omkring 26.000 år. Årsagen til bevægelsen er det moment, som solen og månen udøver på den forvrængede og roterende jord. Overvej effekten af ​​solen alene, ved eller i nærheden af ​​den nordlige sommersolhverv. Solen 'ser' toppen (nordpolen) af jorden vippet mod den (ved ca. ekliptikens skråstilling) og ser den nærmeste del af jordens ækvatoriale udbulning under midten og den yderligere del over midten. Selvom jorden er i frit fald, er tyngdekraften på den nærmeste del af ækvatorialbuen større end den på den anden del, og så er der et nettomoment, der virker som om at eliminere hældningen. Seks måneder senere sker det samme omvendt, bortset fra at drejningsmomentet stadig forsøger at eliminere hældningen. Imellem (ved equinoxes) krymper momentet til nul. Et drejningsmoment, der virker på et spindende legeme, oversættes gyroskopisk til en precessional bevægelse af spinaksen vinkelret på drejningsmomentet, og dette sker for Jorden. Bevægelsen varierer i løbet af året og går gennem to maksima, men fungerer altid i samme retning. Månen producerer den samme effekt og tilføjer et bidrag til præcessionen, der topper to gange om måneden. Månens nærhed til Jorden kompenserer mere end dens mindre masse og tyngdekraft, så den faktisk bidrager med det meste af den præcessive effekt.

De komplekse interaktioner mellem de tre kroppe frembringer en præcessionel bevægelse, der er vaglende snarere end fuldstændig glat. Imidlertid er den vigtigste 26.000-årige komponent i en sådan stor skala, at den dværger de resterende vilkår, hvoraf den største kun har en amplitude på en periode på ca. 18,6 år. Denne skalaforskel gør det praktisk at behandle disse to komponenter i bevægelsen separat. Den vigtigste effekt på 26.000 år kaldes luni-sol-præession, de mindre, hurtigere, periodiske udtryk kaldes nutation.

Bemærk, at præession og nutation simpelthen er forskellige frekvenskomponenter med samme fysiske effekt. Det er en almindelig misforståelse, at præession er forårsaget af solen, og at næring skyldes månen. Faktisk er månen ansvarlig for to tredjedele af præcessionen, og selvom det er rigtigt, at meget af den komplekse detalje i nutationen er en afspejling af indviklingen i månebanen, er der ikke desto mindre vigtige soltermer i nutationen.

Ud over og helt adskilt fra præcessions-nutationseffekten er kredsløbet for jorden-månesystemet ikke fast i orientering, et resultat af planetenes attraktioner. Denne langsomme (ca. pr. År) sekulære rotation af ekliptikken omkring en langsomt bevægende diameter kaldes forvirrende planetarisk presession, og sammen med luni-sol-præcessionen er inkluderet i den generelle presession. Ækvator og ekliptik som påvirket af generel præcession er det, der definerer de forskellige `` gennemsnitlige '' referencerammer.

Modellerne til præession og nutation kommer fra en kombination af observation og teori og er genstand for kontinuerlig forfining. Især nutationsmodeller har nået en høj grad af sofistikering under hensyntagen til sådanne ting som jordens ikke-stivhed og virkningerne af planeterne SLALIBs nutationsmodel (IAU 1980) involverer 106 udtryk i hver af (længdegrad) og (skråstilling) ), nogle så små som.

Ophavsret & kopi 2003 Council for the Central Laboratory of the Research Councils


MINUTTER

OGDEN ASTRONOMISKE SAMFUND

10. april 1997

Tdet regelmæssige møde åbnede kl. 19.30, hvor præsident Steve Peterson instruerede.

Barnes og Noble-stjernepartiet skyllede ud to gange. Ingen planer om at omlægge planen.

På grund af dårligt vejr, men stor interesse, er der planlagt en anden Antelope Island-begivenhed den 26. april. Følg skiltene til White Rock Bay.

John har brug for hjælp til dette kvartals sidste ons. Natstjernefest på W.S.U. Ankomst kl. 20.30

Elgie Mills og Jim Seargeant viste de seneste resultater af deres CCD- og filmfotografering. Nogle utrolige billeder af kometen blev vist.

Planetariumassistent Jarett Bartholomew løb "Rejse til planeterne".

Mødet udsat kl.20.40 29. august 1997 "


13 Kapitel gennemgang

Handling på afstand, som det er tilfældet for tyngdekraften, blev engang anset for at være ulogisk og derfor usant. Hvad er den ultimative determinant for sandheden i videnskaben, og hvorfor blev denne handling på afstand i sidste ende accepteret?

I loven om universel tyngdekraft antog Newton, at kraften var proportional med produktet af de to masser (

m1m2). Mens alle videnskabelige formodninger skal verificeres eksperimentelt, kan du fremføre argumenter for, hvorfor dette skal være? (Du kan overveje enkle eksempler, hvor enhver anden form vil føre til modstridende resultater.)

13.2 Gravitation tæt på jorden & # 8217 s overflade

Skal ingeniører tage jordens rotation i betragtning, når de bygger meget høje bygninger et andet sted end ækvator eller meget tæt på polerne?

13.3 Gravitationspotentiale og total energi

Det blev anført, at en satellit med negativ total energi er i en bundet bane, mens en med nul eller positiv total energi er i en ubegrænset bane. Hvorfor er dette sandt? Hvilket valg for gravitationel potentiel energi blev foretaget således, at dette er sandt?

Det blev vist, at den nødvendige energi til at løfte en satellit ind i en lav Jordbane (ændringen i potentiel energi) er kun en lille brøkdel af den kinetiske energi, der er nødvendig for at holde den i kredsløb. Er dette sandt for større baner? Er der en tendens til forholdet mellem kinetisk energi og ændring i potentiel energi, når kredsløbets størrelse øges?

13.4 Satellitbaner og energi

En studerende hævder, at en satellit i kredsløb er i frit fald, fordi satellitten stadig falder ned mod Jorden. En anden siger, at en satellit i kredsløb ikke er i frit fald, fordi accelerationen på grund af tyngdekraften ikke er 9,80 m / s 2 9,80m / s2. Hvem er du enig med, og hvorfor?

Mange satellitter er placeret i geosynkrone baner. Hvad er specielt ved disse baner? Hvor mange af disse satellitter ville være nødvendige for et globalt kommunikationsnetværk?

13.5 Kepler & # 8217's Laws of Planetary Motion

Er Keplers love rent beskrivende, eller indeholder de årsagsoplysninger?

I diagrammet nedenfor angiver en satellit i en elliptisk bane omkring en meget større masse, hvor dens hastighed er størst, og hvor den er mindst. Hvilken bevaringslov dikterer denne adfærd? Angiv retningerne for kraften, accelerationen og hastigheden på disse punkter. Tegn vektorer til de samme tre størrelser på de to punkter, hvor y-akse krydser (langs den semi-mindre akse) og ud fra dette bestemme, om hastigheden stiger faldende eller med en maks / min.

13.6 Tidevandsstyrker

Når et objekt falder i et sort hul, øges tidevandskræfterne. Vil disse tidevandskræfter altid rive objektet fra hinanden, når det nærmer sig Schwarzschild-radiusen? Hvordan påvirker massen af ​​det sorte hul og objektets størrelse dit svar?

13.7 Einsteins teori om tyngdekraft

Princippet om ækvivalens siger, at alle eksperimenter, der udføres i et laboratorium i et ensartet tyngdefelt, ikke kan skelnes fra dem, der udføres i et laboratorium, der ikke er i et tyngdefelt, men som er ensartet accelererende. I sidstnævnte tilfælde skal du overveje, hvad der sker med en laserstråle i en eller anden højde, der er skudt perfekt vandret til gulvet over det accelererende laboratorium. (Se dette fra en ikke-accelererende ramme uden for laboratoriet.) I forhold til laserens højde, hvor vil laserstrålen ramme den fjerne mur? Hvad siger dette om effekten af ​​et tyngdefelt på lys? Betyder det faktum, at lys ikke har nogen masse, nogen forskel for argumentet?

Når en person nærmer sig Schwarzschild-radiusen af ​​et sort hul, ser observatører udefra alle processerne for den person (deres ure, deres puls osv.) Bremser og stopper, når de når Schwarzschild-radiusen. (Den person, der falder ned i det sorte hul, ser deres egne processer upåvirket.) Men lysets hastighed er den samme overalt for alle observatører. Hvad siger dette om rummet, når du nærmer dig det sorte hul?

Problemer

13.1 Newtons lov om universel tyngdekraft

Evaluer størrelsen af ​​tyngdekraften mellem to 5-kg sfæriske stålkugler adskilt af en centrum-til-centrum afstand på 15 cm.

Skøn tyngdekraften mellem to sumobrydere med en masse på 220 kg og 240 kg, når de omfavnes, og deres centre er 1,2 m fra hinanden.

Astrologi udgør meget af planetenes position i øjeblikket af ens fødsel. Den eneste kendte kraft, som en planet udøver på jorden, er tyngdekraften. (a) Beregn tyngdekraften, der udøves af en 4,20 kg baby af en 100 kg far, der er 0,200 m væk ved fødslen (han hjælper, så han er tæt på barnet). (b) Beregn kraften på babyen, der skyldes Jupiter, hvis den er i dens nærmeste afstand til Jorden, ca. 6,29 × 10 11 m 6,29 × 1011m væk. Hvordan sammenlignes Jupiters kraft på babyen med farens kraft på babyen? Andre genstande i rummet og hospitalets bygning udøver også lignende tyngdekrafter. (Selvfølgelig kan der være en ukendt kraft, der handler, men forskere skal først være overbeviste om, at der endda er en virkning, meget mindre at en ukendt kraft forårsager den.)

Et bjerg 10,0 km fra en person udøver en tyngdekraft på ham svarende til 2,00% af hans vægt. (a) Beregn bjergets masse. (b) Sammenlign bjergets masse med jordens. (c) Hvad er urimeligt ved disse resultater? (d) Hvilke lokaler er urimelige eller inkonsekvente? (Bemærk, at nøjagtige tyngdekraftsmålinger let kan registrere effekten af ​​nærliggende bjerge og variationer i lokal geologi.)

Den internationale rumstation har en masse på ca. 370.000 kg. (a) Hvad er kraften på en 150 kg egnet astronaut, hvis hun er 20 m fra stationens massecenter? (b) Hvor præcist tror du dit svar ville være?

Asteroiden Toutatis passerede nær Jorden i 2006 med fire gange afstanden til vores måne. Dette var den nærmeste tilgang, vi vil have indtil 2060. Hvis den har en masse på 5,0 × 10 13 kg 5,0 × 1013 kg, hvilken kraft udøvede den på Jorden ved dens nærmeste tilgang?

(a) Hvad var jordens acceleration forårsaget af asteroiden Toutatis (se tidligere problem) ved dens nærmeste tilgang? (b) Hvad var accelerationen af ​​Toutatis på dette tidspunkt?

13.2 Gravitation tæt på jorden & # 8217 s overflade

(a) Beregn jordens masse i betragtning af accelerationen på grund af tyngdekraften på Nordpolen måles til at være 9,832 m / s 2 9,832m / s2, og jordens radius ved polen er 6356 km. (b) Sammenlign dette med NASAs Earth Fact Sheet-værdi på 5.9726 × 10 24 kg 5.9726 × 1024kg.

(a) Hvad er accelerationen på grund af tyngdekraften på Månens overflade? (b) På overfladen af ​​Mars? Massen af ​​Mars er 6.418 × 10 23 kg 6.418 × 1023kg og dens radius er 3.38 × 10 6 m 3.38 × 106m.

(a) Beregn accelerationen på grund af tyngdekraften på Solens overflade. (b) Med hvilken faktor ville din vægt stige, hvis du kunne stå på solen? (Husk, at du ikke kan.)

Massen af ​​en partikel er 15 kg.(a) Hvad er dens vægt på jorden? (b) Hvad er dens vægt på månen? (c) Hvad er dens masse på Månen? (d) Hvad er dens vægt i det ydre rum langt fra ethvert himmellegeme? (e) Hvad er dens masse på dette tidspunkt?

På en planet, hvis radius er 1,2 × 107 m 1,2 × 107 m, er accelerationen på grund af tyngdekraften 18 m / s 2 18 m / s2. Hvad er massen på planeten?

Den gennemsnitlige diameter på planeten Saturn er 1,2 × 108 m 1,2 × 108 m, og dens gennemsnitlige massefylde er 0,69 g / cm 3 0,69 g / cm3. Find accelerationen på grund af tyngdekraften ved Saturns overflade.

Den gennemsnitlige diameter på planeten Kviksølv er 4,88 × 10 6 m 4,88 × 106m, og accelerationen på grund af tyngdekraften på dens overflade er 3,78 m / s 2 3,78m / s2. Anslå massen på denne planet.

Accelerationen på grund af tyngdekraften på planetens overflade er tre gange så stor som den er på jordens overflade. Massens tæthed på planeten er kendt for at være dobbelt så stor som for Jorden. Hvad er radius på denne planet i forhold til Jordens radius?

En krop på overfladen af ​​en planet med samme radius som Jordens vejer 10 gange mere end den gør på Jorden. Hvad er massen på denne planet med hensyn til jordens masse?

13.3 Gravitationspotentiale og total energi

Find flugthastigheden af ​​et projektil fra overfladen af ​​Mars.

Find flugthastigheden af ​​et projektil fra overfladen af ​​Jupiter.

Hvad er flugthastigheden for en satellit placeret ved Månens bane omkring Jorden? Antag, at månen ikke er i nærheden.

(a) Evaluer tyngdepotentialenergien mellem to 5,00 kg sfæriske stålkugler adskilt af en centrum-til-centrum afstand på 15,0 cm. (b) Hvis vi antager, at de begge i første omgang hviler i forhold til hinanden i det dybe rum, skal du bruge energibesparelse til at finde ud af, hvor hurtigt de rejser ved stød. Hver kugle har en radius på 5,10 cm.

En middelstor asteroide placeret 5,0 × 10 7 km 5,0 × 107 km fra Jorden med masse 2,0 × 10 13 kg 2,0 × 1013 kg detekteres direkte mod Jorden med en hastighed på 2,0 km / s. Hvad vil dens hastighed være lige før den rammer vores atmosfære? (Du kan ignorere størrelsen på asteroiden.)

(a) Hvad vil asteroidens kinetiske energi være i det forrige problem lige før den rammer Jorden? b) Sammenlign denne energi med output fra den største fissionsbombe, 2100 TJ. Hvilken indvirkning ville dette have på Jorden?

(a) Hvad er ændringen i energi for en 1000 kg nyttelast taget fra hvile på jordens overflade og placeret i ro på Månens overflade? (b) Hvad ville svaret være, hvis nyttelasten blev taget fra Månens overflade til Jorden? Er dette en rimelig beregning af den nødvendige energi til at flytte en nyttelast frem og tilbage?

13.4 Satellitbaner og energi

Hvis en planet med 1,5 gange jordens masse rejste i jordens bane, hvad ville dens periode være?

To planeter i cirkulære baner omkring en stjerne har hastigheder på v og 2v. (a) Hvad er forholdet mellem planetenes orbitale radier? (b) Hvad er forholdet mellem deres perioder?

Ved hjælp af den gennemsnitlige afstand mellem jorden og solen og jordens omløbstid (a) finder du den centripetale acceleration af jorden i dens bevægelse omkring solen. (b) Sammenlign denne værdi med den centripetale acceleration ved ækvator på grund af jordens rotation.

Hvad er kredsløbsradiusen for en jordsatellit med en periode på 1,00 timer? (b) Hvad er urimeligt ved dette resultat?

Beregn solens masse baseret på data for jordens bane, og sammenlign den opnåede værdi med solens faktiske masse.

Find massen af ​​Jupiter baseret på det faktum, at Io, dens inderste måne, har en gennemsnitlig kredsløbsradius på 421.700 km og en periode på 1,77 dage.

Astronomiske observationer af vores Mælkevejs galakse indikerer, at den har en masse på ca. 8,0 × 10 11 8,0 × 1011 solmasser. En stjerne, der kredser om galaksenes periferi, er ca. 6,0 × 104 4,0 × 104 lysår fra dens centrum. (a) Hvad skal stjernens omløbstid være? (b) Hvad er massen af ​​galaksen, hvis dens periode er 6,0 × 107 6,0 × 107 år i stedet? Sådanne beregninger bruges til at antyde eksistensen af ​​andet stof, såsom et meget massivt sort hul i midten af ​​Mælkevejen.

(a) For at forhindre en lille satellit i at køre ind i en nærliggende asteroide placeres den i kredsløb med en periode på 3,02 timer og en radius på 2,0 km. Hvad er massen af ​​asteroiden? (b) Virker denne masse rimelig i forhold til kredsløbets størrelse?

Månen og Jorden roterer omkring deres fælles massecenter, som ligger ca. 4700 km fra centrum af jorden. (Dette er 1690 km under overfladen.) (A) Beregn accelerationen på grund af Månens tyngdekraft på det tidspunkt. (b) Beregn den centripetale acceleration af Jordens centrum, når den roterer omkring det punkt en gang hver månemåned (ca. 27,3 d), og sammenlign den med den acceleration, der findes i del (a). Kommenter, om de er lige eller ej, og hvorfor de skal eller ikke skal være.

Solen kredser om Mælkevejsgalaksen en gang hver 2,60 × 10 8 år 2,60 × 108 år med en omtrent cirkulær bane i gennemsnit en radius på 3,00 × 10 4 3,00 × 104 lysår. (Et lysår er den afstand, der er kørt med lys på 1 år.) Beregn solens centripetale acceleration i dens galaktiske bane. Understøtter dit resultat påstanden om, at en næsten inertiel referenceramme kan findes ved solen? (b) Beregn solens gennemsnitshastighed i dens galaktiske bane. Overrasker svaret dig?

En geosynkron jordsatellit er en, der har en omløbstid på nøjagtigt 1 dag. Sådanne baner er nyttige til kommunikation og vejrobservation, fordi satellitten forbliver over det samme punkt på Jorden (forudsat at den kredser i ækvatorialplanet i samme retning som Jordens rotation). Beregn radius for en sådan bane baseret på dataene for Jorden i tillæg D.

13.5 Kepler & # 8217's Laws of Planetary Motion

Beregn solens masse baseret på data for den gennemsnitlige jordbane, og sammenlign den opnåede værdi med solens almindeligt anførte værdi på 1,989 × 10 30 kg 1,989 × 1030 kg.

Io kredser om Jupiter med en gennemsnitlig radius på 421.700 km og en periode på 1.769 dage. Baseret på disse data, hvad er massen af ​​Jupiter?

Den "gennemsnitlige" kredsløbsradius, der er angivet for astronomiske objekter, der kredser om solen, er typisk ikke et integreret gennemsnit, men beregnes således, at den giver den korrekte periode, når den anvendes til ligningen for cirkulære baner. I betragtning af det, hvad er den gennemsnitlige orbitale radius med hensyn til aphelion og perihelion?

Periheliet af Halleys komet er 0,586 AU, og aphelionen er 17,8 AU. I betragtning af at dens hastighed ved perihelion er 55 km / s, hvad er hastigheden ved aphelion (1 AU = 1,496 × 10 11 m 1AU = 1,496 × 1011m)? (Antydning: Du kan bruge enten energibesparelse eller vinkelmoment, men sidstnævnte er meget lettere.)

Kometen Lagerkvists perihelium er 2,61 AU og har en periode på 7,36 år. Vis at aphelionen for denne komet er 4,95 AU.

Hvad er forholdet mellem hastigheden ved perihel og det ved aphelion for kometen Lagerkvist i det foregående problem?

Eros har en elliptisk bane omkring Solen med en perihelafstand på 1,13 AU og aphelionafstand på 1,78 AU. Hvad er perioden for dens bane?

13.6 Tidevandsstyrker

(a) Hvad er forskellen mellem kræfterne på en 1,0 kg masse på den nærmeste side af Io og den anden side på grund af Jupiter? Io har en gennemsnitlig radius på 1821 km og en gennemsnitlig kredsløbsradius omkring Jupiter på 421.700 km. (b) Sammenlign denne forskel med den beregnet for forskellen for Jorden på grund af Månen beregnet i Eksempel 13.14. Tidevandsstyrker er årsagen til Ios vulkanske aktivitet.

Hvis Solen skulle kollapse i et sort hul, ville en undersøgelses manglende tilbagevenden være ca. 3 km fra centrums singularitet. Ville efterforskeren være i stand til at overleve og besøge selv 300 km fra centrum? Svar på dette ved at finde forskellen i tyngdekraften, som de sorte huller udøver på en 1,0 kg masse ved hovedet og ved efterforskerens fødder.

Overvej figur 13.23 i tidevandsstyrker. Dette diagram repræsenterer tidevandskræfterne for foråret tidevand. Skitse et lignende diagram for nap tidevand. (Antydning: Forestil dig for enkelhedens skyld, at solen og månen bidrager lige meget. Dit diagram ville være vektorsummen af ​​to kraftfelter (som i figur 13.23), reduceret med en faktor på to og overlejret vinkelret.)

13.7 Einsteins teori om tyngdekraft

Hvad er Schwarzschild-radius for det sorte hul i midten af ​​vores galakse, hvis den har en masse på 4 millioner solmasser?

Hvad ville Schwarzschild-radius være i lysår, hvis vores Mælkevejs-galakse på 100 milliarder stjerner kollapsede i et sort hul? Sammenlign dette med vores afstand fra centrum, omkring 13.000 lysår.

Yderligere problemer

En neutronstjerne er en kold, kollapset stjerne med nuklear tæthed. En bestemt neutronstjerne har en masse, der er dobbelt så stor som vores sol med en radius på 12,0 km. (a) Hvad ville vægten være af en 100 kg astronaut ved at stå på overfladen? (b) Hvad fortæller dette os om landing på en neutronstjerne?

(a) Hvor langt fra jordens centrum ville Jordens og Månens nettogravitationskraft på et objekt være nul? (b) Indstilling af størrelsesorden af kræfterne lige skal resultere i to svar fra kvadratiske. Forstår du, hvorfor der er to positioner, men kun en, hvor nettokraften er nul?

Hvor langt fra Solens centrum ville Jordens og Solens nettogravitationskraft på et rumskib være nul?

Beregn værdierne for g ved jordens overflade for følgende ændringer i jordens egenskaber: (a) dens masse fordobles og dens radius halveres (b) dens massefylde fordobles og dens radius er uændret (c) dens massefylde halveres og dens masse er uændret.

Antag at du kan kommunikere med indbyggerne på en planet i et andet solsystem. De fortæller dig, at rekorden for højdespring er 2,0 m på deres planet, hvis diameter og masse er henholdsvis 5,0 × 10 3 km 5,0 × 103 km og 3,6 × 10 23 kg 3,6 × 1023 kg. I betragtning af at denne rekord er tæt på 2,4 m på jorden, hvad ville du konkludere om dine udenjordiske venners springevne?

(a) Antag at din målte vægt ved ækvator er halvdelen af ​​din målte vægt på polen på en planet, hvis masse og diameter er lig med jordens. Hvad er planets rotationsperiode? (b) Har du brug for at tage formen af ​​denne planet i betragtning?

En masse på 100 kg vejes på Nordpolen og ved ækvator med en fjederskala. Hvad er skalaaflæsningen på disse to punkter? Antag, at g = 9,83 m / s 2 g = 9,83 m / s2 ved stangen.

Find den nødvendige hastighed for at flygte fra solsystemet startende fra jordens overflade. Antag, at der ikke er andre organer involveret, og tager ikke højde for, at Jorden bevæger sig i sin bane. [Antydning: Ligning 13.6 gælder ikke. Brug ligning 13.5 og inkluderer både jordens og solens potentielle energi.

Overvej det tidligere problem, og medtag det faktum, at Jorden har en orbitale hastighed omkring Solen på 29,8 km / s. (a) Hvilken hastighed i forhold til Jorden er der behov for, og i hvilken retning skal du forlade Jorden? (b) Hvad vil formen på banen have?

En komet observeres 1,50 AU fra solen med en hastighed på 24,3 km / s. Er denne komet i en bundet eller ubundet bane?

En asteroide har en hastighed på 15,5 km / s, når den ligger 2,00 AU fra solen. Ved sin nærmeste tilgang er det 0,400 AU fra solen. Hvad er dens hastighed på det tidspunkt?

Rumaffald fra gamle satellitter og deres bæreraketter bliver en fare for andre satellitter. (a) Beregn en satellits hastighed i en bane 900 km over jordens overflade. (b) Antag, at en løs nitte befinder sig i en bane af samme radius, der skærer satellitens bane i en vinkel på 90 ° 90 °. Hvad er nittenes hastighed i forhold til satellitten lige før den rammer den? (c) Hvis dens masse er 0,500 g, og den hviler inde i satellitten, hvor meget energi i joule genereres ved kollisionen? (Antag, at satellitens hastighed ikke ændres mærkbart, fordi dens masse er meget større end nitten.)

En satellit med en masse på 1000 kg befinder sig i en cirkulær bane omkring Jorden. Radius for satellitens bane er lig med to gange Jordens radius. (a) Hvor langt væk er satellitten? (b) Find satellitens kinetiske, potentiale og samlede energi.

Efter at Ceres blev forfremmet til en dværgplanet, genkender vi nu den største kendte asteroide, der er Vesta, med en masse på 2,67 × 10 20 kg 2,67 × 1020 kg og en diameter i området fra 578 km til 458 km. Forudsat at Vesta er sfærisk med en radius på 520 km, skal du finde den omtrentlige flugthastighed fra overfladen.

(a) Ved hjælp af dataene i det forrige problem for asteroiden Vesta, hvad ville kredsløbsperioden være for en rumsonde i en cirkelbane på 10,0 km fra overfladen? (b) Hvorfor er denne beregning i bedste fald marginalt nyttig?

Hvad er vores solsystems orbitale hastighed omkring centrum af Mælkevejen? Antag, at massen inden for en sfære med radius svarende til vores afstand væk fra centrum er omkring 100 milliarder solmasser. Vores afstand fra centrum er 27.000 lysår.

(a) Hvilken hastighed har du brug for for at undslippe Mælkevejsgalaksen fra vores nuværende position ved hjælp af oplysningerne i det forrige problem? (b) Har du brug for at accelerere et rumskib til denne hastighed i forhold til Jorden?

Cirkulære baner i ligning 13.10 for koniske sektioner skal have excentricitet nul. Ud fra dette og ved hjælp af Newtons anden lov, der anvendes på centripetal acceleration, viser, at værdien af ​​α α i ligning 13.10 er givet ved α = L 2 G M m 2 α = L2GMm2 hvor L er vinkelmomentet i den kredsende krop. Værdien af ​​α α er konstant og gives af dette udtryk uanset typen af ​​kredsløb.

Vis, at stien er en parabel for excentricitet lig med en i ligning 13.10 for koniske sektioner. Gør dette ved at erstatte kartesiske koordinater, x og y, for de polære koordinater, r og θ θ og viser, at den har den generelle form for en parabel, x = a y 2 + b y + c x = ay2 + ved + c.

Ved hjælp af teknikken vist i satellitbaner og energi, viser at to masser m 1 m1 og m 2 m2 i cirkulære baner omkring deres fælles massecenter har total energi E = K + E = K 1 + K 2 - G m 1 m 2 r = - G m 1 m 2 2 r E = K + E = K1 + K2 − Gm1m2r = −Gm1m22r. Vi har vist den kinetiske energi fra begge masser eksplicit. (Antydning: Masserne kredser henholdsvis ved radierne r 1 r1 og r2 r2, hvor r = r 1 + r 2 r = r1 + r2. Sørg for ikke at forveksle den nødvendige radius til centripetal acceleration med den for tyngdekraften.)

I betragtning af afstanden til perihelion, s, og aphelion afstand, q, for en elliptisk bane, viser at hastigheden ved perihel, v p vp, er givet ved v p = 2 G M Sun (q + p) q p ‾‾‾‾‾‾‾‾√ vp = 2GMSun (q + p) qp. (Antydning: Brug bevarelse af vinkelmoment til at relatere v p vp og v q vq, og erstat derefter i bevarelsen af ​​energiligning.)

Comet P / 1999 R1 har en perihel på 0,0570 AU og aphelion på 4,99 AU. Brug resultaterne af det forrige problem til at finde hastigheden ved aphelion. (Antydning: Udtrykket er for periheliet. Brug symmetri til at omskrive udtrykket for aphelion.)

Udfordringsproblemer

En tunnel graves gennem midten af ​​en perfekt sfærisk og luftløs planet med radius R. Brug af udtrykket til g afledt i Gravitation nær jordens overflade for en ensartet tæthed, viser, at en massepartikel m faldet i tunnelen udfører enkel harmonisk bevægelse. Reducer svingningsperioden for m og viser, at den har samme periode som en bane på overfladen.

Efter værdien af ​​Gravitation Near Earth's Surface skal du finde værdien af g som en funktion af radius r fra midten af ​​en sfærisk skalplanet med konstant tæthed ρ ρ med indre og ydre radier R i Rin og R ud Rout . Finde g for både R in & lt r & lt R out Rin & ltr & ltRout og for r & lt R in r & ltRin. Under forudsætning af, at indersiden af ​​skallen holdes luftløs, skal du beskrive rejse inde i den sfæriske skalplanet.

Vis, at arealhastigheden for en cirkulær radiusbane r om en masse M er Δ A Δ t = 1 2 G M r ‾‾‾‾‾√ ΔAΔt = 12GMr. Giver dit udtryk den korrekte værdi for Jordens arealhastighed omkring Solen?

Vis, at kredsløbsperioden for to masser, m 1 m1 og m 2 m2, i cirkulære baner med henholdsvis radius r 1 r1 og r 2 r2, omkring deres fælles massecenter, er givet ved T = 2 π r 3 G (m 1 + m 2) where√ hvor r = r 1 + r 2 T = 2πr3G (m1 + m2) hvor mere = r1 + r2. (Antydning: Masserne kredser henholdsvis ved radierne r 1 r1 og r 2 r2 hvor r = r 1 + r 2 r = r1 + r2. Brug udtrykket for massecenteret for at relatere de to radier, og bemærk, at de to masser skal have samme, men modsatte momenta. Start med forholdet mellem perioden og kredsløbets omkreds og hastighed for en af ​​masserne. Brug resultatet af det forrige problem ved hjælp af momenta i udtrykkene for den kinetiske energi.)

Vis det for små ændringer i højden h, således at h & lt & lt RE h & lt & ltRE, ligning 13.4 reducerer til udtrykket U U = m g h ΔU = mgh.

Brug figur 13.9 til at skitsere omhyggeligt et frit kropsdiagram til et enkelt pendul, der hænger på lambda, og mærke alle kræfter, der virker på punktmassen, m. Indstil bevægelsesligningerne for ligevægt, og sæt en koordinat i retning af centripetal acceleration (mod P i diagrammet), den anden vinkelret på det. Vis, at afbøjningsvinklen ε ε, defineret som vinklen mellem pendulstrengen og den radiale retning mod centrum af jorden, er givet ved nedenstående udtryk. Hvad er afbøjningsvinklen ved en breddegrad på 45 grader? Antag, at Jorden er en perfekt sfære. tan (λ + ε) = g (g - ω 2 R E) tan λ tan (λ + ε) = g (g ω2RE) tanλ, hvor ω ω er jordens vinkelhastighed.

(a) Vis den tidevandskraft på et lille masseobjekt m, defineret som forskel i den tyngdekraft, der ville blive udøvet m i en afstand på den nærmeste og anden side af objektet på grund af tyngdekraften på afstand R fra M, er givet ved F tidal = 2 G M m R 3 Δ r Ftidal = 2GMmR3Δr hvor Δ r Δr er afstanden mellem nær og fjern side og Δ r & lt & lt R Δr & lt & ltR. (b) Antag at du falder fødder først i det sorte hul i midten af ​​vores galakse. Det har en masse på 4 millioner solmasser.Hvad ville være forskellen mellem kraften ved dit hoved og dine fødder i Schwarzschild-radius (begivenhedshorisont)? Antag, at dine fødder og hoved hver har en masse på 5,0 kg og er 2,0 m fra hinanden. Ville du overleve at passere gennem begivenhedshorisonten?

Find Hohmann-overførselshastigheder, Δ v EllipseEarth ΔvEllipseEarth og Δ v EllipseMars ΔvEllipseMars, der er nødvendige for en tur til Mars. Brug ligning 13.7 til at finde de cirkulære orbitale hastigheder for Jorden og Mars. Ved hjælp af ligning 13.4 og ellipsens samlede energi (med semi-hovedakse-en), givet ved E = - G m Ms 2 a E = −GmMs2a, find hastighederne på Jorden (perihel) og ved Mars (aphelion), der kræves for at være på overføringsellipsen. Forskellen, Δ v Δv, ved hvert punkt er den nødvendige hastighedsforøgelse eller overførselshastighed.


Se videoen: Jorden, solen og månen (November 2022).