Astronomi

Diskontinuitet i rumtid

Diskontinuitet i rumtid


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Det jeg indtil nu forstod ved det er, at rumtidsstof er lidt brudt der. Fortæl mig, om jeg har ret.

  • Hvis det er sandt, betyder det så, at opfattelsen af ​​tid stopper der?

  • Jeg kan virkelig ikke få, hvordan det ødelagte rumstof er. Hvis det er et hul, hvordan skal der så være stof inde i det?

  • Er et sort hul en diskontinuitet?


En enestående fysik er grundlæggende et stort skilt, der siger "den teori, du bruger, er sandsynligvis ophørt med at være en god tilnærmelse af virkeligheden, når du kommer her". Et eksempel er den uendelige mængde stråling med kort bølgelængde, der produceres af et sort legeme under Rayleigh-Jeans-loven. Dette er naturligvis en forkert beskrivelse af virkeligheden, og spørgsmålet blev endelig løst ved udvikling af kvanteteori: under hensyntagen til korrektionerne får Plancks lov, og uendelighed forsvinder.

Inde i et sort hul forudsiger generel relativitet singulariteter, og det ser ud til at være ret almindeligt at tale om dem, som om de er fysiske objekter. Vi skal dog være forsigtige: selvom generel relativitetsteori er vores bedste beskrivelse af tyngdekraften hidtil, ved vi allerede, at den ikke beskriver det faktiske univers. Spørgsmålet her er, at generel relativitet er uforenelig med standardmodellen for kvantefeltteori, som er vores bedste teori om, hvordan fysik fungerer eksklusive tyngdekraften.

Når du kommer til regionen nær hvor generel relativitetsteori forudsiger en enestående, arbejder du med en meget lille region med et intens tyngdefelt. Kvantkorrektioner vil næsten helt sikkert være relevante her, og desværre har vi endnu ikke en selvkonsistent teori om "kvantegravitation" til at beskrive, hvad der skal ske i en sådan region og hidtil eksperimenter (som dem, der udføres ved Large Hadron Collider) har ikke givet meget anelse om, hvordan man fortsætter med at udvikle en.

I et hypotetisk univers, hvor generel relativitet er korrekt, ville der være en singularitet (som heldigvis er skjult for resten af ​​universet ved begivenhedshorisonten), men vi lever ikke i et sådant univers.


En rynke i rumtid: Matematik viser, hvordan stødbølger kunne krølle plads

Matematikere ved UC Davis er kommet op med en ny måde at krympe stoffet i rumtid på - i det mindste i teorien.

”Vi viser, at rumtid ikke kan være fladt lokalt på et punkt, hvor to stødbølger kolliderer,” sagde Blake Temple, professor i matematik ved UC Davis. "Dette er en ny type singularitet i generel relativitet."

Resultaterne er rapporteret i to papirer af Temple med henholdsvis studerende Moritz Reintjes og Zeke Vogler, begge offentliggjort i tidsskriftet Procedurer fra Royal Society A.

Einsteins generelle relativitetsteori forklarer tyngdekraften som en krumning i rumtid. Men teorien starter med den antagelse, at ethvert lokalt plaster af rumtid ser fladt ud, sagde Temple.

En singularitet er et stykke tid, der ikke kan få flad til at se fladt ud i noget koordinatsystem, sagde Temple. Et eksempel på en unikhed er inde i et sort hul, hvor rumets krumning bliver ekstrem.

Temple og hans samarbejdspartnere studerer matematikken om, hvordan stødbølger i en perfekt væske kan påvirke krumning af rumtid i generel relativitet. I tidligere arbejde producerede Temple og samarbejdspartner Joel Smoller, Lamberto Cesari-professor i matematik ved University of Michigan, en model til den største chokbølge af alle, skabt fra Big Bang, da universet brød ud i eksistens.

En chokbølge skaber en pludselig ændring eller diskontinuitet i trykket og tætheden af ​​en væske, og dette skaber et spring i krumningen. Men det har været kendt siden 1960'erne, at krumningsspringet skabt af en enkelt stødbølge ikke er nok til at udelukke rumtids lokalt flade natur.

Voglers doktorarbejde brugte matematik til at simulere to stødbølger, der kolliderede, mens Reintjes fulgte op med en analyse af ligningerne, der beskriver, hvad der sker, når stødbølger krydser. Han fandt, at dette skabte en ny type singularitet, som han kaldte en "regularitet singularitet."

Hvad der er overraskende er, at noget så mildt som interagerende bølger kunne skabe noget så ekstremt som en rumtids singularitet, sagde Temple.

Temple og hans kolleger undersøger, om de stejle stigninger i rumtidsstoffet ved en regelmæssighed singularitet kan skabe effekter, der kan måles i den virkelige verden. For eksempel spekulerer de på, om de måske producerer tyngdekraftsbølger, sagde Temple. Generel relativitetsteori forudsiger, at disse produceres for eksempel ved kollision af massive genstande som sorte huller, men de er endnu ikke observeret i naturen. Regularitets singulariteter kunne også dannes inden for stjerner, når chokbølger passerer inden i dem, teoretiserer forskerne.

Reintjes, nu postdoktor ved universitetet i Regensburg, Tyskland præsenterede arbejdet på den internationale kongres om hyperbolske problemer i Padua i juni.


Diskontinuitet i rumtid - Astronomi

Chessa, J. og Belytschko, T. (2004), vilkårlige diskontinuiteter i endelige rum-tid-elementer efter niveausæt og X-FEM. Int. J. Numer. Meth. Engng., 61: 2595-2614. doi: 10.1002 / nme.1155

Abstrakt

En beriget endelig elementmetode med vilkårlige diskontinuiteter i rumtid præsenteres. Diskontinuiteterne behandles ved hjælp af den udvidede finite element-metode (X-FEM), der bruger en lokal partition af enhedsberigelse til at indføre diskontinuiteter langs en bevægende hyper-overflade, som er beskrevet af niveausæt. Der udvikles en rumtids-svag form for bevarelseslove, hvor Rankine-Hugoniot-hoppeforholdene er naturlige forhold for den svage form. Metoden er illustreret i løsningen af ​​første ordens hyperbolske ligninger og anvendt på lineære første ordens bølge og ikke-lineære burgers ligninger. Ved at indfange diskontinuiteten i tid såvel som i rummet forbedres resultaterne i forhold til at indfange diskontinuiteten i rummet alene, og metoden er bemærkelsesværdig nøjagtig. Implikationer til standard semi-diskretisering X-FEM formuleringer diskuteres også.


En krøller i rynketid

Albert Einsteins revolutionære generelle relativitetsteori beskriver tyngdekraften som en krumning i stoffet i rumtiden. Matematikere ved University of California, Davis er kommet op med en ny måde at krølle stoffet på, mens de overvejer stødbølger.

& # 8220Vi viser, at rumtiden ikke kan være lokalt fladt på et punkt, hvor to stødbølger kolliderer, & # 8221 siger Blake Temple, professor i matematik ved UC Davis. & # 8220Dette er en ny type singularitet i generel relativitet. & # 8221

Temple og hans samarbejdspartnere studerer matematikken om, hvordan stødbølger i en perfekt væske påvirker rumtidens krumning. Deres nye modeller beviser, at særpræg vises på de punkter, hvor stødbølger kolliderer. Voglers matematiske modeller simulerede to stødbølger, der kolliderede. Reintjes fulgte op med en analyse af ligningerne, der beskriver, hvad der sker, når stødbølgerne krydser. Han kaldte singulariteten skabte en & # 8220regularitet singularitet. & # 8221

& # 8220Hvad er overraskende, & # 8221 Temple fortalte Universe Today, & # 8220is at noget så verdsligt som samspillet mellem bølger kan forårsage noget så ekstremt som en rumtids singularitet, omend en meget mild ny form for singularitet. Også overraskende er, at de dannes i de mest grundlæggende ligninger i Einsteins generelle relativitetsteori, ligningerne for en perfekt væske. & # 8221

Resultaterne er rapporteret i to papirer af Temple med kandidatstuderende Moritz Reintjes og Zeke Vogler i tidsskriftet Proceedings of the Royal Society A.

Einstein revolutionerede den moderne fysik med sin generelle relativitetsteori, der blev offentliggjort i 1916. Teorien beskriver kort sagt rummet som et firedimensionelt stof, der kan vrides af energi og strømmen af ​​energi. Tyngdekraften viser sig som en krumning af dette stof. & # 8220 Teorien begynder med antagelsen om, at rumtid (en 4-dimensionel overflade, ikke 2-dimensionel som en kugle) også er & # 8220lokalt flad, & # 8221 Temple forklarer. & # 8220Reintjes & # 8217 sætning beviser, at på det tidspunkt, hvor chokbølge interaktion er, er det [rumtid] også & # 8220krøllet & # 8221 til at være lokalt fladt. & # 8221

Vi tænker almindeligvis på et sort hul som en unikhed, som det er. Men dette er kun en del af forklaringen. Inde i et sort hul bliver rumtidens krumning så stejl og ekstrem, at ingen energi, ikke engang lys, kan undslippe. Temple siger, at en singularitet kan være mere subtil, hvor bare et plaster af rumtid ikke kan få lokalt til at se fladt ud i ethvert koordinatsystem.

& # 8220Lokalt fladt & # 8221 refererer til rum, der ser ud til at være fladt fra et bestemt perspektiv. Vores syn på Jorden fra overfladen er et godt eksempel. Jorden ser flad ud for en sømand midt i havet. Det er kun når vi bevæger os langt fra overfladen, at Jordens krumning bliver tydelig. Einsteins generelle relativitetsteori begynder med antagelsen om, at rumtiden også er lokalt flad. Stødbølger skaber en pludselig ændring eller diskontinuitet i trykket og tætheden af ​​en væske. Dette skaber et spring i krumningen af ​​rumtiden, men ikke nok til at skabe & # 8220crinkling & # 8221 set i holdets modeller, siger Temple.

Den sejeste del af opdagelsen af ​​Temple er, at alt, hans tidligere arbejde med chokbølger under Big Bang og kombinationen af ​​Vogler & # 8217s og Reintjes & # 8217 arbejde, passer sammen.

Der er så meget serendipity, & # 8221 siger Temple. & # 8220Dette er virkelig den sejeste del for mig.
Jeg kan godt lide, at det er så subtilt. Og jeg kan godt lide, at det matematiske felt i shockwave-teorien, skabt til at løse problemer, der ikke havde noget at gøre med generel relativitet, har ført os til opdagelsen af ​​en ny slags rumtids singularitet. Jeg synes, dette er en meget sjælden ting, og jeg vil kalde det en opdagelse af en gang i en generation. & # 8221

Mens modellen ser godt ud på papiret, undrer Temple og hans team sig over, hvordan de stejle stigninger i rumtiden ved en & # 8220regularitet-singularitet & # 8221 kunne forårsage større effekter end forventet i den virkelige verden. Generel relativitetsteori forudsiger, at tyngdekraftbølger kan produceres ved kollision af massive genstande, såsom sorte huller. & # 8220Vi spekulerer på, om en eksploderende stjernechokbølge, der rammer et imploderende chok i forkant af et sammenbrud, måske stimulerer stærkere end forventede tyngdekraftsbølger, siger Temple. & # 8220Dette kan ikke ske i sfærisk symmetri, som vores sætning antager, men i princippet kan det ske, hvis symmetrien var lidt brudt. & # 8221

Billedtekst: Kunstner gengivelse af udfoldelsen af ​​rumtid i begyndelsen af ​​Big Bang. John Williams / TerraZoom


Introduktion

Berigede endelige elementmetoder er i stand til at gengive diskontinuerlige træk og regioner med høje gradienter uden signifikant maskeringsforbedring. Dette opnås ved at udvide det tilnærmelsesvise rum for tilnærmelsesvis element for at kunne gengive specifikke berigelsesfunktioner, der er repræsentative for disse funktioner [1]. Berigelsen lettes typisk af egenskaben partition-of-unit af standard Lagrange-interpolanter [2]. Disse metoder har vist sig ret vellykkede i modellering af statiske og kvasistatiske fænomener såsom lineær elastisk brudmekanik [3], [4], [5], [6], [7] og inklusioner, inhomogeniteter og mikrostruktur [8] , [9], [10]. En omfattende oversigt over disse metoder er givet i Karihaloo og Xiao [11]. Mens tidsuafhængige berigede metoder har vist sig at give fremragende resultater, har tidsafhængige berigede endelige elementmetoder ikke opnået den samme grad af succes. De fleste forskere har anvendt standard semidiskretiseringsteknikker i tidsafhængige problemer med moderat succes. Eksempler inkluderer arbejdet fra Chessa et al. [12], Ji et al. [13] og Dolbow og Merle [14] til størkning, Chen og Belytschko [15] og Belytschko et al. [16] for tidsdynamisk revnedannelse, Chessa og Belytschko [17], [18] for to-fase væskestrøm og Legay et al. [19] til interaktionsproblemer med væskestruktur.

Alle de tidligere nævnte tidsafhængige implementeringer anvender semidiskrete skemaer, hvor berigelsestidsderivaterne tilnærmes med endelig tidsforskel (typisk den centrale forskelmetode). I Chessa og Belytschko [20] er der udviklet en ny rum-tid berigelsesordning til eksplicit at spore diskontinuiteter i første orden bevarelse love. Ved at berige plads-tid kan den bevægelige diskontinuitet løses mere nøjagtigt sammenlignet med ordninger, hvor berigelsen er tidsuafhængig. I Chessa og Belytschko [20] sammenlignes løsningerne til første ordens bølger og Burgers ligninger ved hjælp af semidiskretiserede og rumtidsberigede endelige elementskemaer, det er vist, at mens de semidiskrete berigede ordninger fanger diskontinuiteten, har de en tendens til at være oscillerende i nærheden af diskontinuiteten og har fejl i størrelsen af ​​diskontinuiteten. I modsætning hertil er den rumtidsberigede formulering markant overlegen i at fange diskontinuiteten, faktisk for den første ordens lineære bølgeligning, rum-tid-formuleringen gengiver den nøjagtige løsning.

I dette papir undersøger vi, hvordan den berigede rum-tid-formulering af Chessa og Belytschko [20], hvor diskontinuiteter eksplicit spores med berigelse og niveausæt, kan kombineres med standardbegrænsede elementformuleringer til hyperbolske ligninger. Målet er at minimere beregningsomkostningerne ved den berigede rum-tid-formulering samt øge letheden ved implementering af eksisterende endelige elementkoder. Vi parrer rum-tid-formuleringen med standard semidiskretiserede endelige elementer væk fra diskontinuiteten. Koblingen udføres ved en svag håndhævelse af kontinuiteten af ​​fluxen på en måde svarende til de diskontinuerlige Galerkin-metoder (DGM) [21]. Den fremlagte tilgang kræver eksplicit sporing af diskontinuiteter i bevarelseslove. Lignende choksporingsmetoder er blevet overvejet i det begrænsede forskelssamfund. Nogle eksempler inkluderer spøgelsesvæskemetoder fra Fedkiw et al. [22] og Aslam [23], der brugte niveausæt til eksplicit at spore chok i en række hyperbolske konserveringslove. Også elementer i eksplicit choksporing blev anvendt i Mao [24] til behandling af diskontinuiteter. Som med de fleste eksplicitte stødsporingsmetoder er spørgsmålet om støddetektion ikke trivielt, selv i 1D. Diskussioner om eksplicit støddetektion kan findes i [25], [26], [27] disse diskussioner er for det meste set fra visualiseringens synspunkt. Detaljerne og problemerne med eksplicit støddetektion behandles ikke her.

Papirets omrids er som følger: I sektion 2 definerer vi første ordens bevarelsesproblem, derefter præsenterer vi i afsnit 3 det berigede tidsbegrænsede element og de semidiskrete svage former for problemet. I afsnit 4 diskuterer vi kobling af den berigede rum-tid-formulering med standard semidiskrete endelige elementer. I afsnit 5 udvikler vi de berigede tilnærmelser til endelig element mellem rum og tid, og i afsnit 6 gives de diskrete endelige elementligninger. I afsnit 7 anvendes metoden i flere eksempler. Konklusioner præsenteres derefter i afsnit 8.


Vilkårlige diskontinuiteter i endelige rum-tid-elementer efter niveausæt og X-FEM

Institut for Mekanik, University of Texas i El Paso, U.S.A.

Institut for Mekanik, Northwestern University, U.S.A.

Institut for Mekanik, Northwestern University, U.S.A. Søg efter flere artikler af denne forfatter

Institut for Mekanik, University of Texas i El Paso, U.S.A.

Institut for Mekanik, Northwestern University, U.S.A.

Institut for Mekanik, Northwestern University, U.S.A. Søg efter flere artikler af denne forfatter

Abstrakt

En beriget endelig elementmetode med vilkårlige diskontinuiteter i rumtid præsenteres. Diskontinuiteterne behandles ved hjælp af den udvidede finite element-metode (X-FEM), der bruger en lokal partition af enhedsberigelse til at introducere diskontinuiteter langs en bevægende hyperoverflade, der er beskrevet af niveausæt. En rum-tid svag form for bevarelseslove udvikles, hvor Rankine-Hugoniot springforholdene er naturlige forhold for den svage form. Metoden er illustreret i løsningen af ​​første ordens hyperbolske ligninger og anvendt på lineære første ordens bølge og ikke-lineære burgers ligninger. Ved at indfange diskontinuiteten i tid såvel som i rummet forbedres resultaterne i forhold til at indfange diskontinuiteten i rummet alene, og metoden er bemærkelsesværdig nøjagtig. Implikationer til standard semi-diskretisering X-FEM formuleringer diskuteres også. Ophavsret © 2004 John Wiley & Sons, Ltd.


Indhold

I sin berømte artikel om speciel relativitet i 1905 udledte Albert Einstein, at når to ure blev bragt sammen og synkroniseret, og derefter blev den ene flyttet væk og bragt tilbage, ville det ur, der havde gennemgået rejsen, blive fundet bag det ur, som var blevet sat. [A 1] Einstein betragtede dette som en naturlig konsekvens af særlig relativitet, ikke et paradoks som nogle antydede, og i 1911 gentog han og uddybede dette resultat som følger (med fysiker Robert Resnicks kommentarer efter Einsteins): [A 2] [15]

Hvis vi placerede en levende organisme i en kasse. man kunne sørge for, at organismen efter en vilkårlig lang flyvning kunne returneres til sit oprindelige sted i en knap ændret tilstand, mens tilsvarende organismer, der havde været i deres oprindelige position, allerede længe havde vigget for nye generationer. For den bevægende organisme var rejsetiden kun et øjeblik, forudsat at bevægelsen fandt sted med omtrent lysets hastighed. Hvis den stationære organisme er en mand, og den rejsende er hans tvilling, vender den rejsende hjem for at finde sin tvillingebror meget gammel i forhold til sig selv. Paradokset koncentrerer sig om påstanden om, at begge to i relativitet kunne betragte den anden som den rejsende, i hvilket tilfælde hver skulle finde den anden yngre - en logisk modsigelse. Denne påstand antager, at tvillingenes situationer er symmetriske og udskiftelige, en antagelse, der ikke er korrekt. Desuden er de tilgængelige eksperimenter blevet udført og understøtter Einsteins forudsigelse.

I 1911 gav Paul Langevin et "slående eksempel" ved at beskrive historien om en rejsende, der foretog en tur med en Lorentz-faktor på γ = 100 (99,995% lysets hastighed). Den rejsende forbliver i et projektil i et år af sin tid og vender derefter retning. Ved hjemkomst finder den rejsende, at han er to år gammel, mens der er gået 200 år på jorden. Under turen sender både den rejsende og Jorden signaler til hinanden med konstant hastighed, hvilket placerer Langevins historie blandt Doppler-skiftversionerne af tvillingeparadoxet. De relativistiske effekter på signalhastighederne bruges til at tage højde for de forskellige aldringshastigheder. Asymmetrien, der opstod, fordi kun den rejsende gennemgik acceleration, bruges til at forklare, hvorfor der overhovedet er nogen forskel, fordi "enhver hastighedsændring eller enhver acceleration har en absolut betydning". [A 3]

Max von Laue (1911, 1913) uddybede Langevins forklaring. Ved hjælp af Hermann Minkowskis rumtidsformalisme fortsatte Laue med at demonstrere, at verdenslinjerne i de inertielt bevægende kroppe maksimerer den forløbne tid, der er gået mellem to begivenheder. Han skrev også, at den asymmetriske aldring fuldstændigt tages i betragtning af det faktum, at astronaut-tvillingen bevæger sig i to separate rammer, mens jordtvillingene forbliver i en ramme, og accelerationstiden kan gøres vilkårligt lille sammenlignet med inerti-bevægelsestiden . [A 4] [A 5] [A 6] Til sidst fjernede Lord Halsbury og andre enhver acceleration ved at indføre "trebrøders" tilgang. Den rejsende tvilling overfører sin urlæsning til en tredje, der rejser i den modsatte retning. En anden måde at undgå accelerationseffekter er brugen af ​​den relativistiske dopplereffekt (se Hvordan det ser ud: det relativistiske dopplerskift nedenfor).

Hverken Einstein eller Langevin betragtede sådanne resultater for at være problematiske: Einstein kaldte det kun "ejendommeligt", mens Langevin præsenterede det som en konsekvens af absolut acceleration. [A 7] Begge mænd hævdede, at der fra den tidsforskel, der illustreres af tvillingerne, ikke kunne konstrueres nogen selvmodsigelse. Med andre ord så hverken Einstein eller Langevin historien om tvillingerne som en udfordring for den relativistiske fysiks selvkonsistens.

Overvej et rumskib, der rejser fra Jorden til det nærmeste stjernesystem: en afstand d = 4 lysår væk med en hastighed v = 0.8c (dvs. 80% af lysets hastighed).

For at gøre antallet let, antages skibet at nå fuld fart på en ubetydelig tid ved afgang (selvom det faktisk ville tage cirka 9 måneder at accelerere ved 1 g for at komme op til hastighed). På samme måde antages det i slutningen af ​​den udgående tur, at den retningsændring, der er nødvendig for at starte returflyvningen, finder sted i en ubetydelig tid. Dette kan også modelleres ved at antage, at skibet allerede er i bevægelse i begyndelsen af ​​eksperimentet, og at returhændelsen er modelleret af en Dirac delta distribution acceleration. [16]

Parterne vil observere situationen som følger: [17] [18]

Jordperspektiv Rediger

De jordbaserede missionskontrol begrunder rejsen på denne måde: tur-retur tager t = 2d/v = 10 år i jordtid (dvs. alle på Jorden vil være 10 år ældre, når skibet vender tilbage). Den tid, der måles på skibets ure og de rejsende ældes under deres rejse, reduceres med faktoren ε = 1 - v 2 / c 2 < displaystyle varepsilon = scriptstyle < sqrt <1-v ^ <2> / c ^ <2> >>>, den gensidige af Lorentz-faktoren (tidsudvidelse). I dette tilfælde ε = 0,6, og de rejsende vil kun have været 0,6 × 10 = 6 år, når de vender tilbage.

Rejsendes perspektiv Rediger

Skibets besætningsmedlemmer beregner også oplysningerne om deres rejse ud fra deres perspektiv. De ved, at det fjerne stjernesystem og Jorden bevæger sig i forhold til skibet i hastighed v under rejsen. I deres hvilestel er afstanden mellem jorden og stjernesystemet εd = 0,6 × 4 = 2,4 lysår (længdekontraktion) for både ud- og returrejser. Hver halvdel af rejsen tager εd / v = 2,4 / 0,8 = 3 år, og tur-retur tager dobbelt så lang tid (6 år). Deres beregninger viser, at de kommer hjem, når de er 6 år. De rejsendes endelige beregning om deres aldring er i fuld overensstemmelse med beregningerne fra dem på Jorden, selvom de oplever turen helt anderledes end dem, der bliver hjemme.

Konklusion Rediger

Aflæsninger på jordens og rumskibets ure
Begivenhed jorden
(flere år)
Rumskib
(flere år)
Afgang 0 0
Slut på udgående tur =
Begyndelsen af ​​den igangværende rejse
5 3
Ankomst 10 6

Uanset hvilken metode de bruger til at forudsige urlæsningerne, er alle enige om dem. Hvis tvillinger fødes den dag, skibet forlader, og den ene tager på rejsen, mens den anden forbliver på jorden, mødes de igen, når den rejsende er 6 år og den hjemmehørende tvilling er 10 år.

Det paradoksale aspekt af tvillingernes situation stammer fra det faktum, at den omgående tvillings ur til enhver tid kører langsomt i den jordbundne tvillings inerti-ramme, men baseret på relativitetsprincippet kan man lige så godt argumentere for, at den jordbundne tvillings ur kører langsomt den omrejsende tvillings inerti-ramme. [19] [20] [21] Én forslag til beslutning er baseret på det faktum, at den jordbundne tvilling er i ro i samme inerti under hele rejsen, mens den rejsende tvilling ikke er: i den enkleste version af tankeeksperimentet, den rejser tvilling skifter i midten af ​​turen fra at være i ro i en inerti ramme, der bevæger sig i en retning (væk fra jorden) til at være i ro i en inerti ramme, der bevæger sig i den modsatte retning (mod jorden). I denne tilgang er det afgørende at bestemme, hvilken observatør der skifter ramme og ikke. Selvom begge tvillinger lovligt kan hævde, at de er i ro i deres egen ramme, er det kun den rejsende tvilling, der oplever acceleration, når rumskibsmotorer er tændt. Denne acceleration, der kan måles med et accelerometer, gør hans hvilestel midlertidigt ikke-inaktiv. Dette afslører en afgørende asymmetri mellem tvillingenes perspektiver: selvom vi kan forudsige aldringsforskellen fra begge perspektiver, er vi nødt til at bruge forskellige metoder for at opnå korrekte resultater.

Accelerationens rolle Rediger

Selvom nogle løsninger tilskriver accelerationen af ​​den rejsende tvilling en afgørende rolle på tidspunktet for vendingen, [19] [20] [21] [22] bemærker andre, at effekten også opstår, hvis man forestiller sig to separate rejsende, en udad- gående og en indadgående, der passerer hinanden og synkroniserer deres ure på det punkt, der svarer til "turnaround" hos en enkelt rejsende. I denne version spiller fysisk acceleration af det omgående ur ingen direkte rolle [23] [24] [16] "spørgsmålet er, hvor længe verdenslinjerne er, ikke hvor bøjede". [25] Længden der henvises til her er den Lorentz-invariante længde eller "korrekt tidsinterval" af en bane, der svarer til den forløbne tid målt ved et ur efter den bane (se afsnit Forskel i forløbet tid som et resultat af forskelle i tvillinger 'rumtidstier nedenfor). I Minkowski-rumtiden skal den rejsende tvilling føle en anden historie med accelerationer fra den jordbundne tvilling, selvom dette bare betyder accelerationer af samme størrelse adskilt af forskellige tidsmængder, [25] dog "selv denne rolle til acceleration kan elimineres i formuleringer af tvillingeparadoxet i buet rumtid, hvor tvillingerne kan falde frit langs geodetik mellem rum og tid mellem møderne ". [6]

Relativitet af samtidighed Rediger

For en øjeblikkelig forståelse af, hvordan tidsforskellen mellem tvillingerne udfolder sig, må man forstå, at der i særlig relativitet ikke er noget begreb om absolut til stede. For forskellige inerti-rammer er der forskellige sæt hændelser, der er samtidige i den ramme. Denne relativitetsteori af samtidighed betyder, at skift fra en inerti-ramme til en anden kræver en justering af, hvilken skive gennem rumtiden, der tæller som "nutiden". I rumtidsdiagrammet til højre, tegnet til referencerammen for den jordbaserede tvilling, falder denne tvillings verdenslinje sammen med den lodrette akse (hans position er konstant i rummet og bevæger sig kun i tiden). På første etape af turen bevæger den anden tvilling sig til højre (sort skrånende linje) og på det andet ben tilbage til venstre. Blå linjer viser planer af samtidighed for den omrejsende tvilling under den første etape af rejsen røde linjer, under den anden etape. Lige før turnaround beregner den rejsende tvilling alderen på den jordbaserede tvilling ved at måle intervallet langs den lodrette akse fra oprindelsen til den øverste blå linje. Hvis han genberegner lige efter turnaround, måler han intervallet fra oprindelsen til den nederste røde linje. På en måde springer samtidighedens plan under U-drejningen fra blå til rød og fejer meget hurtigt over et stort segment af verdenslinjen for den jordbaserede tvilling. Når man overføres fra den udgående inerti-ramme til den indgående inertialramme, er der en sprangdiskontinuitet i alderen med den jordbaserede tvilling [19] [20] [24] [26] [27] (6,4 år i eksemplet ovenfor) .

Som nævnt ovenfor kan et "ud og tilbage" tvillingeparadokseventyr omfatte overførsel af urlæsning fra en "udadvendt" astronaut til en "indgående" astronaut og dermed helt eliminere effekten af ​​acceleration. I henhold til det såkaldte "urpostulat" bidrager fysisk acceleration af ure ikke til de kinematiske effekter af særlig relativitet. Tidsforskellen mellem to genforenede ure produceres snarere udelukkende ved ensartet inerti-bevægelse, som diskuteret i Einsteins originale relativitetspapir fra 1905, [23] såvel som i alle efterfølgende kinematiske afledninger af Lorentz-transformationerne.

Fordi rumtidsdiagrammer inkorporerer Einsteins ursynkronisering (med dets gitter af ure-metodologi), vil der være et nødvendigt spring i aflæsningen af ​​jordurets tid foretaget af en "pludselig tilbagevendende astronaut", der arver en "ny betydning af samtidighed" i tråd med en ny ursynkronisering dikteret af overførslen til en anden inerti-ramme, som forklaret i Spacetime Physics af John A. Wheeler. [26]

Hvis astronauten (udgående og indgående) og den jordbaserede part regelmæssigt opdaterer hinanden om status for deres ure i stedet for at inkorporere Einsteins ursynkronisering (gitter af ure) ved at sende radiosignaler (som rejser med lyshastighed) , så vil alle parter bemærke en inkrementel opbygning af asymmetri i tidsregistrering, begyndende ved "vend om" -punktet. Forud for "vend dig om" betragter hver part den anden parts ur for at optage tid forskelligt fra sin egen, men den bemærkede forskel er symmetrisk mellem de to parter. Efter "turn around" er de bemærkede forskelle ikke symmetriske, og asymmetrien vokser trinvist, indtil de to parter genforenes. Efter endelig genforening kan denne asymmetri ses i den faktiske forskel, der vises på de to genforenede ure. [28]

Alle processer - kemiske, biologiske, måleinstrumenters funktion, menneskelig opfattelse, der involverer øje og hjerne, kommunikation af kraft - er begrænset af lysets hastighed. Der fungerer ur på hvert niveau afhængigt af lyshastighed og den iboende forsinkelse selv på atomniveau. Biologisk aldring adskiller sig derfor ikke på nogen måde fra tidsuret. [29] Dette betyder, at biologisk ældning vil blive bremset på samme måde som et ur.

I lyset af rammeafhængigheden af ​​samtidighed for begivenheder på forskellige steder i rummet foretrækker nogle behandlinger en mere fænomenologisk tilgang, der beskriver, hvad tvillingerne ville observere, hvis hver sendte en række regelmæssige radioimpulser, lige fordelt i tid i henhold til emitterens ur. [24] Dette svarer til at spørge, hvis hver tvilling sendte et videofeed af sig selv til hinanden, hvad ser de så på deres skærme? Eller hvis hver tvilling altid havde et ur, der angav sin alder, hvad tid ville hver se på billedet af deres fjerne tvilling og hans ur?

Kort efter afgang ser den rejsende tvilling opholdet derhjemme uden tidsforsinkelse. Ved ankomsten viser billedet på skibsskærmen den forblivende tvilling, da han var 1 år efter lanceringen, fordi radio udsendt fra Jorden 1 år efter lanceringen kommer til den anden stjerne 4 år bagefter og møder skibet der. I løbet af denne etape af turen ser den rejsende tvilling sit eget ur bevæge sig 3 år, og uret på skærmen bevæger sig 1 år, så det ser ud til at gå videre med 1 ⁄ 3 den normale hastighed, kun 20 billedsekunder pr. Skibsminut. This combines the effects of time dilation due to motion (by factor ε=0.6, five years on Earth are 3 years on ship) and the effect of increasing light-time-delay (which grows from 0 to 4 years).

Then the ship turns back toward home. The clock of the staying twin shows "1 year after launch" in the screen of the ship, and during the 3 years of the trip back it increases up to "10 years after launch", so the clock in the screen seems to be advancing 3 times faster than usual.

When the source is moving towards the observer, the observed frequency is higher ("blue-shifted") and given by

Dette er fobs = 3fhvile til v/c = 0.8.

As for the screen on Earth, it shows that trip back beginning 9 years after launch, and the traveling clock in the screen shows that 3 years have passed on the ship. One year later, the ship is back home and the clock shows 6 years. So, during the trip back, begge twins see their sibling's clock going 3 times faster than their own. Factoring out the fact that the light-time-delay is decreasing by 0.8 seconds every second, each twin calculates that the other twin is aging at 60% his own aging speed.

Det xt (space–time) diagrams at left show the paths of light signals traveling between Earth and ship (1st diagram) and between ship and Earth (2nd diagram). These signals carry the images of each twin and his age-clock to the other twin. The vertical black line is the Earth's path through spacetime and the other two sides of the triangle show the ship's path through spacetime (as in the Minkowski diagram above). As far as the sender is concerned, he transmits these at equal intervals (say, once an hour) according to his own clock but according to the clock of the twin receiving these signals, they are not being received at equal intervals.

After the ship has reached its cruising speed of 0.8c, each twin would see 1 second pass in the received image of the other twin for every 3 seconds of his own time. That is, each would see the image of the other's clock going slow, not just slow by the ε factor 0.6, but even slower because light-time-delay is increasing 0.8 seconds per second. This is shown in the figures by red light paths. At some point, the images received by each twin change so that each would see 3 seconds pass in the image for every second of his own time. That is, the received signal has been increased in frequency by the Doppler shift. These high frequency images are shown in the figures by blue light paths.

The asymmetry in the Doppler shifted images Edit

The asymmetry between the Earth and the space ship is manifested in this diagram by the fact that more blue-shifted (fast aging) images are received by the ship. Put another way, the space ship sees the image change from a red-shift (slower aging of the image) to a blue-shift (faster aging of the image) at the midpoint of its trip (at the turnaround, 3 years after departure) the Earth sees the image of the ship change from red-shift to blue shift after 9 years (almost at the end of the period that the ship is absent). In the next section, one will see another asymmetry in the images: the Earth twin sees the ship twin age by the same amount in the red and blue shifted images the ship twin sees the Earth twin age by different amounts in the red and blue shifted images.

The twin on the ship sees low frequency (red) images for 3 years. During that time, he would see the Earth twin in the image grow older by 3/3 = 1 years . He then sees high frequency (blue) images during the back trip of 3 years. During that time, he would see the Earth twin in the image grow older by 3 × 3 = 9 years. When the journey is finished, the image of the Earth twin has aged by 1 + 9 = 10 years.

The Earth twin sees 9 years of slow (red) images of the ship twin, during which the ship twin ages (in the image) by 9/3 = 3 years. He then sees fast (blue) images for the remaining 1 year until the ship returns. In the fast images, the ship twin ages by 1 × 3 = 3 years. The total aging of the ship twin in the images received by Earth is 3 + 3 = 6 years , so the ship twin returns younger (6 years as opposed to 10 years on Earth).

The distinction between what they see and what they calculate Edit

To avoid confusion, note the distinction between what each twin sees and what each would calculate. Each sees an image of his twin which he knows originated at a previous time and which he knows is Doppler shifted. He does not take the elapsed time in the image as the age of his twin now.

  • If he wants to calculate when his twin was the age shown in the image (dvs. how old he himself was then), he has to determine how far away his twin was when the signal was emitted—in other words, he has to consider simultaneity for a distant event.
  • If he wants to calculate how fast his twin was aging when the image was transmitted, he adjusts for the Doppler shift. For example, when he receives high frequency images (showing his twin aging rapidly) with frequency f r e s t ( 1 + v / c ) / ( 1 − v / c ) > ight)/left(<1-v/c> ight)>>>> , he does not conclude that the twin was aging that rapidly when the image was generated, any more than he concludes that the siren of an ambulance is emitting the frequency he hears. He knows that the Doppler effect has increased the image frequency by the factor 1 / (1 − v/c). Therefore, he calculates that his twin was aging at the rate of

when the image was emitted. A similar calculation reveals that his twin was aging at the same reduced rate of εfhvile in all low frequency images.

Simultaneity in the Doppler shift calculation Edit

It may be difficult to see where simultaneity came into the Doppler shift calculation, and indeed the calculation is often preferred because one does not have to worry about simultaneity. As seen above, the ship twin can convert his received Doppler-shifted rate to a slower rate of the clock of the distant clock for both red and blue images. If he ignores simultaneity, he might say his twin was aging at the reduced rate throughout the journey and therefore should be younger than he is. He is now back to square one, and has to take into account the change in his notion of simultaneity at the turnaround. The rate he can calculate for the image (corrected for Doppler effect) is the rate of the Earth twin's clock at the moment it was sent, not at the moment it was received. Since he receives an unequal number of red and blue shifted images, he should realize that the red and blue shifted emissions were not emitted over equal time periods for the Earth twin, and therefore he must account for simultaneity at a distance.

During the turnaround, the traveling twin is in an accelerated reference frame. According to the equivalence principle, the traveling twin may analyze the turnaround phase as if the stay-at-home twin were freely falling in a gravitational field and as if the traveling twin were stationary. A 1918 paper by Einstein presents a conceptual sketch of the idea. [A 8] From the viewpoint of the traveler, a calculation for each separate leg, ignoring the turnaround, leads to a result in which the Earth clocks age less than the traveler. For example, if the Earth clocks age 1 day less on each leg, the amount that the Earth clocks will lag behind amounts to 2 days. The physical description of what happens at turnaround has to produce a contrary effect of double that amount: 4 days' advancing of the Earth clocks. Then the traveler's clock will end up with a net 2-day delay on the Earth clocks, in agreement with calculations done in the frame of the stay-at-home twin.

The mechanism for the advancing of the stay-at-home twin's clock is gravitational time dilation. When an observer finds that inertially moving objects are being accelerated with respect to themselves, those objects are in a gravitational field insofar as relativity is concerned. For the traveling twin at turnaround, this gravitational field fills the universe. In a weak field approximation, clocks tick at a rate of t' = t (1 + Φ / c 2 ) where Φ is the difference in gravitational potential. In this case, Φ = gh hvor g is the acceleration of the traveling observer during turnaround and h is the distance to the stay-at-home twin. The rocket is firing towards the stay-at-home twin, thereby placing that twin at a higher gravitational potential. Due to the large distance between the twins, the stay-at-home twin's clocks will appear to be sped up enough to account for the difference in proper times experienced by the twins. It is no accident that this speed-up is enough to account for the simultaneity shift described above. The general relativity solution for a static homogeneous gravitational field and the special relativity solution for finite acceleration produce identical results. [30]

Other calculations have been done for the traveling twin (or for any observer who sometimes accelerates), which do not involve the equivalence principle, and which do not involve any gravitational fields. Such calculations are based only on the special theory, not the general theory, of relativity. One approach calculates surfaces of simultaneity by considering light pulses, in accordance with Hermann Bondi's idea of the k-calculus. [31] A second approach calculates a straightforward but technically complicated integral to determine how the traveling twin measures the elapsed time on the stay-at-home clock. An outline of this second approach is given in a separate section below.

The following paragraph shows several things:

  • how to employ a precise mathematical approach in calculating the differences in the elapsed time
  • how to prove exactly the dependency of the elapsed time on the different paths taken through spacetime by the twins
  • how to quantify the differences in elapsed time
  • how to calculate proper time as a function (integral) of coordinate time

Let clock K be associated with the "stay at home twin". Let clock K' be associated with the rocket that makes the trip. At the departure event both clocks are set to 0.

Phase 1: Rocket (with clock K' ) embarks with constant proper acceleration -en during a time T-en as measured by clock K until it reaches some velocity V. Phase 2: Rocket keeps coasting at velocity V during some time Tc according to clock K. Phase 3: Rocket fires its engines in the opposite direction of K during a time T-en according to clock K until it is at rest with respect to clock K. The constant proper acceleration has the value −-en, in other words the rocket is decelerating. Phase 4: Rocket keeps firing its engines in the opposite direction of K, during the same time T-en according to clock K, until K' regains the same speed V med respekt for K, but now towards K (with velocity −V). Phase 5: Rocket keeps coasting towards K at speed V during the same time Tc according to clock K. Phase 6: Rocket again fires its engines in the direction of K, so it decelerates with a constant proper acceleration -en during a time T-en, still according to clock K, until both clocks reunite.

Knowing that the clock K remains inertial (stationary), the total accumulated proper time Δτ of clock K' will be given by the integral function of coordinate time Δt

hvor v(t) er coordinate velocity of clock K' as a function of t according to clock K, and, e.g. during phase 1, given by

This integral can be calculated for the 6 phases: [32]

hvor -en is the proper acceleration, felt by clock K' during the acceleration phase(s) and where the following relations hold between V, -en og T-en:

So the traveling clock K' will show an elapsed time of

which can be expressed as

whereas the stationary clock K shows an elapsed time of

which is, for every possible value of -en, T-en, Tc og V, larger than the reading of clock K' :


A Space-Time Discontinuous Galerkin Spectral Element Method for Nonlinear Hyperbolic Problems

A space-time discontinuous Galerkin spectral element method is combined with two different approaches for treating problems with discontinuous solutions: (i) adding a space-time dependent artificial viscosity, and (ii) tracking the discontinuity with space-time spectral accuracy. A Picard iteration method is employed to solve nonlinear system of equations derived from the space-time DG spectral element discretization. Spectral accuracy in both space and time is demonstrated for the Burgers’ equation with a smooth solution. For tests with discontinuities, the present space-time method enables better accuracy at capturing the shock strength in the element containing shock when higher order polynomials in both space and time are used. The spectral accuracy of the shock speed and location is demonstrated for the solution of the inviscid Burgers’ equation obtained by the tracking method.

Preprint submitted to International Journal of Computational Methods December 21, 2017.


Watch the video: Diskontinuita (Oktober 2022).