Astronomi

Keplerian Elements

Keplerian Elements


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Så jeg har undersøgt endeløst, og jeg har fundet lidt information, alt andet forskellige steder. Nu bliver jeg virkelig forvirret over det; Jeg kan ikke følge med det hele længere, så nu er det tid til at frigive det her. Hvad er de Kepleriske elementer, og hvordan beregner du dem?

Jeg er især interesseret i at få en forklaring på vinklede orbitale elementer, såsom længden af ​​den stigende knude (såvel som selve den stigende knude), vinkelmomentet, argumentet om perihelion, den gennemsnitlige og sande anomali og nogle andre variabler som Orbital Momentum Vector.

Som et svar vil jeg have en forståelig forklaring på, hvad de ovennævnte kredsløbselementer er, og ligninger, der beskriver, hvordan man beregner dem. Hvis der er variabler, der kræver yderligere forskning at forstå, skal du gøre det samme for dem. Bagefter, i slutningen af ​​et svar, bedes du linke kilden, hvorfra du har den (hvis der er nogen), men hvis du fik den fra personlige kurser, som ikke har noget link, skal du ignorere denne del og ikke prøve at lave forræderisk forskning for at prøve at finde en.

Håber snart at finde et svar, tak på forhånd!


Hvad Kepler (og andre før og efter ham) ønskede at gøre er at forudsige, hvor en planet ville være. For at gøre dette har vi brug for nogle opsætninger:

Først vil vi have et koordinatsystem. Dette er et aksesystem: x, y og z, vinkelret på hinanden. Og det skal være et inerti-koordinatsystem, så Newtons love fungerer. Dette betyder, at akserne ikke skal rotere. Og vi vil være i stand til at vælge et koordinatsystem, der ikke bevæger sig i forhold til genstandens massepunkt. Sammen med koordinatsystemet har vi brug for et tidssystem med et bestemt øjeblik betegnet t = 0 (og fordi dette ikke er relativitet, skal vi ikke bekymre os om ure, der kører med forskellige hastigheder eller buet rumtid osv ...).

Så nu spørger vi meningsfuldt "hvor er planeten ved t = 3 år" og forstår svaret: "Det er ved koordinater (0,6, 1,2, 0,1) AU".

Nu viser det sig, at du har brug for 6 tal for at fuldstændigt beskrive planets fremtidige bevægelse, da den adlyder Newtons love om bevægelse og tyngdekraft. Du kan for eksempel give position og hastighed ved t = 0. Tre koordinater for position og tre for hastighed ville give tilstrækkelig information.

Men dette ignorerer fakta, som Kepler opdagede om baner (og Newton var i stand til at bevise ud fra sine bevægelseslove). Planeten bevæger sig i en ellipse. Så vi kan beskrive kredsløbet i form af ellipsen. Ellipser er knuste cirkler, og der er to specielle punkter kaldet foci, der er væk fra centrum langs ellipsens lange akse. Massecentret vil være på et fokus.

Først er der størrelsen på ellipsen. Nu viser det sig, at længden af ​​den lange akse er vigtig, da kredsløbets periode (året) er relateret til længden af ​​den lange akse. Konventionelt taler vi om den "halvstore akse", som er halvdelen af ​​længden af ​​den lange akse eller afstanden fra centrum af ellipsen til det længste punkt. Vi mærker dette $ a $, og dette er det første af vores seks tal.

Dernæst er der formen på ellipsen. Ellipser kan være fede og cirkulære eller tynde og tynde. De næsten cirkulære har foci, der er tæt på centrum. Så vi måler afstanden fra centrum til enten fokus: $ c $. Og definer derefter den excentricitet, der skal være $ e = c / a $ Alle ellipser med det samme $ e $ har samme form i den forstand, at de alle er matematisk ens. $ e $ er det andet tal.

Nu skal vi beskrive orienteringen af ​​ellipsen i rummet. For at gøre dette kommer vi tilbage til vores koordinatsystem. X-y-planet er et fladt plan med oprindelsen i fokus for ellipsen (husk at vi valgte koordinater med oprindelsen i centrum af massen). Ellipsen vil ikke være i x-y-planet, men nogle gange være over (i betydningen positiv z-koordinat) og undertiden under dette plan.

De to planer: ellipsens plan og x-y-planet vil være i en vis vinkel i forhold til hinanden. Vi kalder denne vinkel hældningen. Dette er $ i $ og er det tredje tal. En hældning på 0 betyder, at planeten kredser i x-y-planet. En hældning på 90 betyder, at orbitalplanet er vinkelret på x-y-planet. Og en hældning på 180 betyder, at den kredser i x-y-planet på en retrograd bane (for at definere retrograd har vi brug for en definition af positive og negative vinkler. Konventionelle negative vinkler anses for at være med uret).

For at beskrive retninger i x-y-planet bruger vi vinkler. X-aksen vil være 0 grader. Og så måler vi vinklen fra x-aksen, fra 0 til 360 grader. Der vil være et punkt i x-y-planet, hvor kredsløbet krydser det, og hvor planetens bevægelse får det til at bevæge sig fra under planet til over planet. Dette kaldes den stigende knude. Det er et fast punkt, og retningen af ​​dette faste punkt kaldes den stigende knudes længde, $ Omega $. Hældningen og $ Omega $ sammen definerer det plan, som planeten kredser om.

Vi kigger derefter på det sted, hvor planeten er tættest på fokus. Dette kaldes periaps. Dette er en vinkel i kredsløbsplanet. Det er vinklen mellem den stigende knude og periapsens retning. Dette er argumentet for periaps og er mærket $ omega $.

Disse fem tal definerer ellipsens form og retning. De er valgt dels af bekvemmelighed og dels af historiske årsager. Men hovedårsagen er, at hver beskriver et andet aspekt af kredsløbet. I modsætning til tilstandsvektorerne, hvor de tre positionskoordinater er af samme slags værdi, er hvert orbitalelement adskilt og meningsfuldt.

Det sjette element er simpelthen placeringen af ​​planeten på det tidspunkt $ t = 0 $. Dette er en vinkel i kredsløbsplanet, og der er forskellige måder at beskrive denne vinkel på. Den enkleste er vinklen mellem periapseretningen og planeten. Dette er den sande anomali $ nu $ (intet at gøre med uregelmæssige data!) Men nogle gange kan du muligvis se den gennemsnitlige anomali. Dette ligner en vinkel, men er faktisk et tidsmål. 0 betyder "ved periapsen" og 360 betyder "en omløbstid (år) senere", så 90 betyder "en fjerdedel af en år gennem kredsløbet ". Fordi planeten ikke bevæger sig med en konstant hastighed, svarer en gennemsnitlig anomali på 90 ikke til en sand anomali på 90 grader.

Det er de seks orbitale elementer:

$ a $ størrelse på ellips
$ e $ form af ellips
$ i $, $ Omega $ position af orbitalplan i forhold til x-y-plan
$ omega $ orientering af ellips inden for orbitalplan
$ nu $ planetens position på ellipsen

Det er et standardproblem i himmelmekanikken at konvertere fra 6 orbitalelementer til tilstandsvektorer med position og hastighed og konvertere tilbage fra tilstandsvektorer til orbitalelementer. Det er også et standardproblem at tage de seks orbitalelementer, som giver den sande (eller middel) anomali på tidspunktet 0 og beregner den sande anomali på et andet tidspunkt. Men den involverede matematik er snarere involveret: Se https://web.archive.org/web/20170810015111/http://ccar.colorado.edu/asen5070/handouts/kep2cart_2002.doc eller https://web.archive.org /web/20160418175843/https://ccar.colorado.edu/asen5070/handouts/cart2kep2002.pdf for at gå den anden vej

For solsystemet er det konventionelt at tage x-retningen for at være i den retning, hvor ækvatorplanet krydser planet for jordens bane omkring solen. Og y-retningen skal være vinkelret på den i planet for jordens bane (så per definition har jorden ingen hældning). Dette peger mod konstellationen af ​​"Fiskene", men det bevæger sig langsomt, og for 2000 år siden pegede det mod "Vædderen" og kaldes så "Vædderenes første punkt", eller (da solen er på positionen om foråret) equinox, $ gamma $.

Ingen diskussion af orbitale elementer er komplet uden Wikipedia-billedet, der beskriver dem.

Af Lasunncty på den engelske Wikipedia, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8971052


Keplers love

Johannes Kepler arbejdede med data omhyggeligt indsamlet af Tycho Brahe uden hjælp fra et teleskop og udviklede tre love, der beskrev planetenes bevægelse hen over himlen.

1. Loven om baner: Alle planeter bevæger sig i elliptiske baner, med solen på et fokus.

2. Områdeloven: En linje, der forbinder en planet med solen, fejer lige områder ud på lige tidspunkter.

3. Periodenes lov: Kvadratet for en hvilken som helst planets periode er proportional med terningen i den halveste akse af dens bane.

Keplers love blev afledt for kredsløb omkring solen, men de gælder også for satellitbaner.


TLE / Keplerian Element Resources

To linieelementer eller TLE'er, ofte omtalt som Keplerian-elementer eller keps i amatørfællesskabet, er input til SGP4-standard matematisk model af rumfartøjsbaner, der bruges af de fleste amatørsporingsprogrammer. De specificerer kredsløbets størrelse og form, og hvordan banen er orienteret i forhold til Jorden på et bestemt tidspunkt. Med TLE'erne og din stationsplacering kan du beregne, hvornår satellitten skal ses, og hvor du skal rette dine antenner. Se vejledningen om Keplerian-elementer og forklaringen på de formater, der bruges i disse filer. Detaljer om matematikken bag disse elementer findes i Spacetrack Report No. 3 og Revisiting Spacetrack Report # 3.

Ugentlige opdateringer er helt passende for de fleste amatørsatellitter. En væsentlig undtagelse er den internationale rumstation. På grund af sin lave bane oplever den en betydelig aerodynamisk træk, der i løbet af få dage introducerer mærkbare fejl, især for de 2395 MHz HamTV-transmissioner, der kræver smal stråle med parabolantenner for god modtagelse. Derudover hæves dens bane periodisk af thrustere. Disse kombinerede faktorer kræver hyppige opdateringer for at sikre nøjagtige forudsigelser. For at opfylde dette krav opdaterer AMSAT filen med blotte elementer flere gange dagligt baseret på data leveret af NASAs Johnson Space Flight Center.

Når en ny satellit lanceres, er der en vis forvirring med hensyn til TLE'er. Se til amsat-bb, Twitter og Facebook for de nyeste oplysninger.

Nuværende elementer

Elementer i Bulletinformat til alle satellitter af interesse for radioamatører. Denne fil opdateres torsdag aften omkring 2300 UTC eller oftere, hvis der lanceres nye satellitter med høj interesse. Indeholder korte oplysninger om formatet.

Bare elementer stammer fra den ugentlige bulletin, men indeholder ingen sidehoved eller sidefod. Denne fil kan opdateres oftere end bulletinen og anbefales til brug sammen med sporingsprogrammer. Disse data bruges som input til AMSAT Pass Forudsigelsessiden.

Historiske elementer

Historiske bulletiner findes i The Keps Archives. Historiske elementer er tilgængelige til at understøtte AMSATs Fox-seriens satellitter og FoxTLM-softwaren. Du kan også finde bulletiner tilbage til oktober 1993.

Yderligere ressourcer

Du kan finde masser af TLE'er og relaterede oplysninger på disse andre steder, herunder NOAA-vejr, Iridium og alle andre uklassificerede satellitter, der ikke strengt interesserer amatørradiosamfundet:

CelesTrak af T.S. Kelso. TLE'er for valgt rumfartøj, opdateret 4-6 gange om dagen.

Space-Track Joint Force Space Component Command-websted for TLE & # 8217s, der vender tilbage til Sputnik 1. Kræver en gratis konto for at få adgang. Aktuelle satellitter opdateres 4-6 gange om dagen.


Keplerian Elements - Astronomi

Kvantumrum med Keplerian-baner er vigtige instrumenter til modellering af baneprøver af himmellegemer i en lang tidsperiode. Vi antager, at variationer af orbitalcentriciteter, tilbøjeligheder og semi-store akser forbliver tilstrækkeligt små, mens vilkårlige forstyrrelser er tilladt for argumenterne for knudepunkter eller længder af knudepunkterne eller begge dele. Afstanden mellem baner eller deres billeder i kvotientrum tjener som et numerisk kriterium for sådanne problemer med himmelsk mekanik som søgen efter fælles oprindelse af meteoroidstrømme, kometer og asteroider, identifikation af asteroidefamilier og andre. I dette papir overvejer vi kvotsæt af det ikke-retlinede Keplerian-bane mellemrum H. Deres elementer identificeres uanset værdierne for pericenterargumenter eller knudelængder. Vi beviser, at afstandsfunktioner på kvotsæt, introduceret i Kholshevnikov et al. (Mon Not R Astron Soc 462: 2275-2283, 2016), tilfredsstille metriske rumaksiomer og diskutere teoretisk og praktisk betydning af dette resultat. Isometriske indlejringer af kvotientrummene i R ^ n og et rum med kompakte undergrupper af H med Hausdorff-metriske er konstrueret. De euklidiske repræsentationer af kredsløbene finder dens applikationer i et problem med gennemsnit af kredsløb og beregningsalgoritmer, der er specifikke for det euklidiske rum. Vi udforsker også færdiggørelser af H og dens kvotientrum med hensyn til tilsvarende målinger og etablerer en sammenhæng mellem elementer i de udvidede rum og retlinjede baner. Afstanden mellem en kredsløb og undergrupper af elliptiske og hyperbolske baner beregnes. Denne mængde giver en øvre grænse for den metriske værdi i et problem med tæt identifikation af kredsløb. Endelig diskuteres invariansen af ​​ækvivalensforholdene i H under koordinatændring.


Forstyrrelser og elementær varians

Uforstyrrede, to-krops, newtonske baner er altid koniske sektioner, så de keplerianske elementer definerer en ellipse, parabel eller hyperbola. Virkelige kredsløb har forstyrrelser, så et givet sæt keplerianske elementer beskriver nøjagtigt en bane kun i epoken. Udviklingen af ​​orbitalelementerne finder sted på grund af tyngdekraften fra andre legemer end de primære, den primære usikkerhed, atmosfærisk træk, relativistiske effekter, strålingstryk, elektromagnetiske kræfter osv.

Keplerianske elementer kan ofte bruges til at producere nyttige forudsigelser til tider nær epoken. Alternativt kan ægte baner modelleres som en sekvens af Keplerian-baner, der osculerer ("kys" eller berører) den virkelige bane. De kan også beskrives ved de såkaldte planetariske ligninger, differentialligninger, der kommer i forskellige former udviklet af Lagrange, Gauss, Delaunay, Poincaré eller Hill.


Forstyrrelser og elementær varians

Uforstyrrede baner med to kroppe er altid koniske sektioner, så de keplerianske elementer definerer en ellipse, parabel eller hyperbola. Virkelige kredsløb har forstyrrelser, så et givet sæt keplerianske elementer beskriver nøjagtigt en bane kun i epoken. Udviklingen af ​​orbitalelementerne finder sted på grund af tyngdekraften fra andre legemer end de primære, den primære usikkerhed, atmosfærisk træk, relativistiske effekter, strålingstryk, elektromagnetiske kræfter osv.

Keplerianske elementer kan ofte bruges til at producere nyttige forudsigelser til tider nær epoken. Alternativt kan ægte baner modelleres som en sekvens af Keplerian-baner, der osculerer ("kys" eller berører) den virkelige bane. De kan også beskrives ved de såkaldte planetariske ligninger, differentialligninger, der kommer i forskellige former udviklet af Lagrange, Gauss, Delaunay, Poincaré eller Hill.


12. juli 2015

Jordens position på himmelsfæren ved indgangsuniversal tid

Jordens position på himmelsfæren ved indgangsuniversal tid

af R C Chakraborty, 12. juli 2015, Sider 68 & # 8211 163.

(Dette er afsnit 4, s. 68 - 163, fra Orbital Mechanics & # 8211 Model & amp Simulation Software (OM-MSS), sek. 1 til 10, s. 1 & # 8211 402.)

Jorden er en kugle, den tredje planet fra solen og den femte største af de otte planeter i solsystemet.

Planeter bestiller fra solen: Kviksølv, Venus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun.

Jorden roterer på sin akse, der passerer gennem Nord- og Sydpolen. Rotationen er mod uret og ser ned på Nordpolen. Denne rotation resulterer i dagtimerne i området, der vender mod solen, og natten i området, der vender væk fra solen. Da vi er på jorden, fornemmer vi ikke dens rotation, men oplever ved at observere solens relative bevægelse (som fra et køretøj i bevægelse ser vi omgivelserne bevæge sig).

Tiden for Jorden til at foretage en fuldstændig rotation er cirka 24 timer (nøjagtigt 23,9344699 timer eller 23 timer, 56 minutter, 4,0916 sekunder). Jorden & # 8217 s bane omkring solen er ikke en cirkel, det er lidt elliptisk. Derfor varierer afstanden mellem jord og sol gennem året.

For at beregne Jordens position på himmelsfæren til enhver tid, er vi først nødt til at beregne solens position på himmelsfæren og derefter i samme øjeblik Jordens beregningsposition på himmelsfæren. For solens position på himmelskuglen er meget beregnet / illustreret i det foregående afsnit (Ref. Https://myreaders.wordpress.com/2015/07/11/position-of-sun-on-celestial-sphere-at -input-universal-tid /).

Jordens position på himmelkuglen er karakteriseret ved at beregne omkring 120 orbitale parametre. Antallet er stort, fordi nogle parametre beregnes ved hjælp af mere end en modelligning, der kræver forskellige input. Dette hjælper med validering af resultater og forståelse af de forskellige inputovervejelser.

De orbitale parametre, der karakteriserer jordens position på himmelsfæren, er opdelt i følgende grupper:

1. GST Greenwich sidereal tid og GHA Greenwich timevinkel i 0 til 360 grader ved input UT tid YY MM DD HH.

2. Jord Log ind 0 til 360 grader og Lat i + ve eller -ve ind 0 til 90 grader pegende på solformørkelseslog (Lsun) ved tidsindgang UT.

3. LST Lokal siderisk tid ved brug af GST over tre længdegrader, Greenwich-log, Sol-middel-log (Lmean) og amp Sol-epliptisk log (Lsun).

4. ST0 sidereal tid over Greenwich-længdegrad = 0,0, ved tidspunktet input År JAN dag 1 hr 00.

5. ST siderisk tid, ved tidsindgang UT, over tre log, Greenwich log, Sun middel log (Lmean) og Sun epliptic log (Lsun).

6. H timevinkel i 0 til 360 grader under anvendelse af ST over fem længdegrader, Greenwich, Lmean, Lsun, Earth Sub Sun point SS, Earth Observation point EP, ved tidsindgang UT.

7. Delta E er ligning af tid i sekunder ved hjælp af p_julian_day, n_sun, w_sun ved tidsindgang UT.

8. GST Greenwich sidereal tid og GHA Greenwich timevinkel 0 til 360 grader på det tidspunkt, hvor jorden er i perihelium.

9. ST sidereal tid & amp.MST betyder sidereal tid i forskellige tilfælde ved anvendelse af Earth gennemsnitlig bevægelse omdrejning pr. Dag og julianske århundredage fra YY 2000_JAN_1_hr_1200.

10. Jordens kredsløbsradius, sub-solpunkt på jordoverfladen og amp-relaterede parametre ved hjælp af SMA, e_sun, T_sun, w_sun osv.

11. Earth center (EC) til Sun center (SC) Range Vector [rp, rq, r] i PQW-ramme (perifokalt koordinatsystem).

12. Transform_1 Jordposition EC til SC Range Vector [rp, rq] i PQW-ramme til Range Vector [rI, rJ, rK] i IJK-ramme (inertial systemledning).

13. Transform_2 Earth point EP (lat, log, hgt) Til EC til SC Range Vector [RI, RJ, RK, R] i IJK-ramme.

14. Transform_3 Earth position EC to SC Range Vectors [rI, rJ, rK] & amp [RI, RJ, RK] Til EP til SC Range Vector [rvI, rvJ, rvK] i IJK-ramme.

15. Transform_4 Earth point EP til SC Range Vector [rvI, rvJ, rvK] i IJK-ramme Til EP til SC Range Vector [rvS, rvE, rvZ] i SEZ-ramme.

16. Højde (EL) og Azimuth (AZ) Solvinkel ved jordobservationspunkt EP.

17. Afstand i km fra jordobservationspunkt (EP) til Sub-solpunkt (SS) og jordhastighedsmåler pr. Sekund i kredsløb ved tidsindgang UT.

18. Earth State Position Vector [X, Y, Z] i km ved tidsindgang UT.

19. Jordtilstandshastighedsvektor [Vx, Vy, Vz] i meter pr. Sek. Ved tidsindgang UT.

20. Jordbanens normale vektor [Wx, Wy, Wz] i km og vinkler Delta, i, RA ved tidsindgang UT Normal er linje vinkelret på kredsløbsplan.

21. Transformer jordtilstandevektorer til jordposition Keplerian-elementer.

22. Transformer jordposition Keplerian-elementer til jordtilstandsvektorer.

Værdierne for alle disse parametre er beregnet er ved Standard Epoch JD2000, og når Jorden er ved Perihelion, Aphelion, Equinoxes og Solstices. Tiden ved perihel, aphelion, equinoxes og solstices blev beregnet tidligere for inputåret i afsnit 2. (Ref. Https://myreaders.wordpress.com/2015/07/11/positional-astronomy-earth-orbit- omkring solen /).

For komplet indlæg (Side 68 - 163) Gå videre til websteds-URL:


Keplerian Orbital Velocity

I tilfælde af et to-kropsproblem og enkel cirkulær bevægelse på grund af kun tyngdekræfter, er Keplerian orbital hastighed kan findes ved simpelthen at ligne centrapetal kraft til tyngdekraft. Generelt kredser de to masser, siger $ m $ og $ M $, om systemets massecenter med en effektiv masse svarende til den reducerede masse. I tilfælde af at $ m ll M $ er massepunktet nær tyngdepunktet på $ M $, og den Keplerianske orbitale hastighed er

hvor 1 AU er 1 astronomisk enhed, og $ M _ < odot> $ er en solmasse. I alt det ovenstående er $ r $ kredsløbets radius.

En anden praktisk form (igen for $ m ll M $), der udtrykker
Keplerian hastighed som en brøkdel af lysets hastighed, $ c $, er

hvor $ r_$ er tyngdekraftsradius, som er praktisk
formularer er

hvor $ M_ <8> $ er det centrale, er i enheder på $ 10 ^ <8> $ solmasser.

Orbitalhastighed, når en masse ikke er ubetydelig

Hvis en af ​​masserne ikke er ubetydelig sammenlignet med den anden, skal du blot bruge den samlede masse ($ M + m $) i stedet for $ M $ i ovenstående formler til orbitalhastighed.

Orbital Velocity for elliptiske baner

I det generelle tilfælde af elliptiske baner skal du blot gange en af ​​ovenstående ligninger for orbitalhastighed med følgende faktor, $ f _ < rm elliptisk> $:

hvor $ a $ er ellipsens halveste akse, og $ r $ er længden af ​​linjen, der forbinder de to masser (naturligvis varierer hastigheden omkring ellipsen for elliptiske baner).

Studiehjælpemidler
E-bøger til fysikreference:

Fysikformler og -tabeller-
klik på billedet for detaljer og forhåndsvisning:


Cambridge Handbook of Physics Formulas -
klik på billedet for detaljer og forhåndsvisning:

astrophysicsformulas.com hjælper dig med astrofysik og fysik eksamener, herunder kandidatindgangsprøver som GRE.

Brug astrofysikformler til fysik, astrofysikopgave og lektiehjælp, testforberedelse, eksamensforberedelse og som studiehjælp eller hukommelsesjogger.

Dette websted er drevet af hostmonster.
Lav websteder med smukke ligninger! Hurtig og nem installation af wordpress.


Snapshots


Abstrakt

To semi-analytiske løsninger til et forstyrret to-kropsproblem kendt som Lagrange planetarlige ligninger (LPE) blev sammenlignet med en numerisk integration af ligningen med bevægelse med samme forstyrrelseskraft. For at undgå de kritiske forhold, der blev nedarvet fra konfigurationen af ​​LPE, var der introduceret ikke-ental orbitalelementer (EOE). I denne undersøgelse blev to typer orbitalelementer, klassiske Keplerian orbitalelementer (COE) og EOE anvendt til løsningen af ​​LPE. Effektiviteten af ​​EOE og uoverensstemmelsen mellem EOE og COE blev undersøgt ved anvendelse af flere næsten kritiske forhold. Den nærmeste revolution, en dag og syv dages udvikling af hvert orbitalelement beskrevet i LPE med COE og EOE blev analyseret ved at sammenligne det med de direkte konverterede orbitalelementer fra den numerisk integrerede tilstandsvektor i kartesisk koordinat. Som et resultat har LPE med EOE en fordel ved langtidsberegning i forhold til LPE med COE i tilfælde af relativt lille excentricitet.